Il ponte degli innamorati

Identificazione

Rally: 26.II.13 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambito: GP
Famiglia:

• TR - Costruire, utilizzare e/o effettuare una trasformazione geometrica

Remarque et suggestion

Sunto

Determinare una linea poligonale la cui lunghezza sia la più corta possibile, che includa un segmento il più corto possibile tra due parallele, nel contesto di un fiume da attraversare.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere che il ponte, per essere il più corto possibile, deve essere perpendicolare alle sponde del fiume (distanza tra due rette parallele)

- Provare, dapprima, con diverse posizioni del ponte, collegando le estremità del ponte alle case e confrontando le lunghezze dei cammini ottenuti.

- Rendersi conto che gli scarti sono minimi tra i diversi tentativi e che delle misure non saranno sufficienti per rispondere con precisione alla domanda posta

- Realizzare che la lunghezza del ponte è costante poiché le sponde sono parallele e non influenza la lunghezza dell’intero percorso.

- Cercare quindi il cammino più corto, cosa che vuol dire cercare la posizione del ponte [CD] in modo che la distanza GC+DR sia minima. Il punto cruciale è posizionare bene il punto C per tracciare il percorso più corto possibile che va da una casa all’altra.

- Per fare ciò, procedere ad esempio nel modo seguente: posizionare un punto R’ in modo che CDRR’ sia un parallelogramma:

1. Prendere la distanza tra le sponde: tracciare una perpendicolare alle sponde e prendere la distanza tra i punti di intersezione di questa retta con le rette che rappresentano le sponde.
2. A partire dal punto R, tracciare un segmento RR’ perpendicolare alle sponde, di lunghezza uguale alla distanza tra le due rive.

- Comprendere che cercare la distanza GC+DR minima equivale a cercare la distanza GC+CR’ minima, in quanto CR’ è uguale a DR poiché CDRR’ è un parallelogramma.

- Rendersi conto che questa distanza è minima se il punto C è allineato con G e R’ poiché G e R’ sono fissati dall’enunciato o dalle costruzioni che ne derivano.

- Tracciare la retta GR’ e posizionare il punto C, punto di intersezione di GR’ con il bordo più vicino a G.

- Tracciare il cammino seguente :

- Oppure

   - Effettuare lo stesso ragionamento costruendo il punto G’ tale che GCDG’ sia un parallelogramma; poi, tracciando G’R, si ottiene il punto D, intersezione di G’R con la sponda più vicina ad R. 

- Oppure

   - Effettuare una traslazione del punto G (o del punto R), pari alla distanza tra le sponde, per costruzione o per doppia piegatura (vedere lo schema di sotto), al fine di fare astrazione dal fiume e considerare solo la parte «strada» del tragitto. 
   - Tracciare il segmento RG’ (o GR’) in modo da trovare nell’intersezione una delle due estremità del ponte. Tracciare infine il ponte richiesto.

Nozioni matematiche

géométrie plane, droites parallèles, ligne brisée, longueur, minimum

Risultati

26.II.13

Punteggi attribuiti, su 1178 classi di 18 sezioni:

Secondo i criteri determinati nel corso dell’analisi a priori :

• 4 punti: Soluzione corretta con costruzione di un parallelogramma o presenza di una traslazione (per costruzione o piegatura) che permetta di fare astrazione dal fiume, con il percorso dettagliato che faccia apparire la nozione di distanza minima tra due punti e tra due rette e mostrando che il cammino costruito è il più breve
• 3 punti: Soluzione corretta senza spiegazione o con spiegazione poco chiara o incompleta.
• 2 punti: Presenza di almeno 4 tentativi con ponte perpendicolare. Confronto tra le lunghezze e scelta di una risposta coerente con i tentativi
• 1 punto: Disegno di una strada sbagliata, ma con un ponte perpendicolare alle sponde
• 0 punto: Incomprensione del problema (ad esempio, disegno della strada con un ponte non perpendicolare alle sponde)

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

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