Radici quadrate

Identificazione

Rally: 26.II.17 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GP, OP, NU
Famiglie:

• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• LA/UA - Gestire unità d’area
• QUA - Lavorare su una quadrettatura
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/PY - Utilizzare una relazione classica

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Sunto

Disegnare un triangolo i cui vertici sono posti sui vertici dei quadrati di una quadrettatura 1cm × 1cm e i cui lati misurano √41 cm, √45 cm, e √68 cm

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Capire che √41 , √45 e √68 non sono numeri interi e che i lati del triangolo non possono dunque essere né orizzontali né verticali poiché vanno disegnati su una griglia a maglie quadrate.

- Pensare poi al teorema di Pitagora e cercare dei triangoli rettangoli i cui lati sono sulle righe della quadrettatura e le cui ipotenuse hanno come misure le lunghezze assegnate

- Si può allora essere condotti a cercare dei quadrati perfetti le cui somme danno successivamente 41, 45, 68. Questo è relativamente facile da trovare considerando tutti i quadrati da 1 a 8 (poiché il quadrato di 9 supera 68): 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, e sommandoli a coppie per trovare 41, 45 e 68.

- Si ha : 41 = 16 + 25, 45 = 9 + 36 e 68 = 4 + 64 (queste scomposizioni sono le sole possibili).

- Per ottenere il triangolo cercato, bisognerà poi « giustapporre » i tre triangoli rettangoli le cui ipotenuse hanno come lunghezze √41 , √45 e √68 in centimetri. Il triangolo è da immaginare in un rettangolo i cui due lati avranno come misure 6 e 8 cm che sono i lati più grandi dei triangoli rettangoli trovati (Fig.1).

Oppure:

- Considerare valori approssimati al millimetro vicini alle lunghezze assegnate per i lati prendendole, ad esempio, con un righello e costruire un triangolo facendo in modo, con vari tentativi, che i suoi vertici coincidano con i vertici di quadrati della quadrettatura o anche, per esempio, disegnare un cerchio centrato in un punto A della quadrettatura (Fig.2) di raggio 6,4 cm (√41≈6,403), constatare che ci sono fino a 8 punti. della quadrettatura (due sulla figura) che potrebbero corrispondere al segmento cercato e verificarlo applicando il teorema di Pitagora ai triangoli ABD’ e AB’C’ ottenuti.

- Continuare poi la ricerca con la stessa strategia tracciando un cerchio di centro ancora A e di raggio 8,25 cm (√68 ≈ 8,246) (Fig.3), ottenere un punto C sulla quadrettatura che dà il secondo lato del triangolo AB’C di Boris, verificando che la lunghezza B’C vale √45 ≈ 6,7 cm.

Nozioni matematiche

géométrie plane, triangle, côté. mesure, quadrillage, sommet, nombre irrationnel

Risultati

26.II.17

Punteggi attribuiti, su 396 classi di 8 sezioni:

Secondo i criteri determinati nel corso dell’analisi a priori :

• 4 punti: Disegnato correttamente il triangolo richiesto, con verifica delle tre lunghezze cercate o descrizione di come si è costruito
• 3 punti: Disegnato correttamente il triangolo richiesto, senza verifica o descrizione del procedimento seguito
  oppure disegnato un triangolo con i vertici su tre vertici della quadrettatura e aventi come misure dei lati valori approssimati al millimetro vicino a quelli richiesti, con descrizione del procedimento seguito
• 2 punti: Disegnato un triangolo con due lunghezze corrispondenti ai dati (con o senza spiegazioni)
  oppure disegno di una linea spezzata costituita da due segmenti con lunghezze corrispondenti a quelle date
  oppure disegnati due o tre segmenti separati con lunghezze corrispondenti a quelle date
• 1 punto: Disegnato un triangolo con una lunghezza corrispondente ad una assegnata
  oppure disegnato un segmento di lunghezza corrispondente ad una delle lunghezze date
• 0 punto: Incomprensione del problema