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Banca di problemi del RMTgp136-it |
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Disegnare un triangolo i cui vertici sono posti sui vertici dei quadrati di una quadrettatura 1cm × 1cm e i cui lati misurano √41 cm, √45 cm, e √68 cm
Analisi a priori
- Capire che √41 , √45 e √68 non sono numeri interi e che i lati del triangolo non possono dunque essere né orizzontali né verticali poiché vanno disegnati su una griglia a maglie quadrate.
- Pensare poi al teorema di Pitagora e cercare dei triangoli rettangoli i cui lati sono sulle righe della quadrettatura e le cui ipotenuse hanno come misure le lunghezze assegnate
- Si può allora essere condotti a cercare dei quadrati perfetti le cui somme danno successivamente 41, 45, 68. Questo è relativamente facile da trovare considerando tutti i quadrati da 1 a 8 (poiché il quadrato di 9 supera 68): 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, e sommandoli a coppie per trovare 41, 45 e 68.
- Si ha : 41 = 16 + 25, 45 = 9 + 36 e 68 = 4 + 64 (queste scomposizioni sono le sole possibili).
- Per ottenere il triangolo cercato, bisognerà poi « giustapporre » i tre triangoli rettangoli le cui ipotenuse hanno come lunghezze √41 , √45 e √68 in centimetri. Il triangolo è da immaginare in un rettangolo i cui due lati avranno come misure 6 e 8 cm che sono i lati più grandi dei triangoli rettangoli trovati (Fig.1).
Oppure:
- Considerare valori approssimati al millimetro vicini alle lunghezze assegnate per i lati prendendole, ad esempio, con un righello e costruire un triangolo facendo in modo, con vari tentativi, che i suoi vertici coincidano con i vertici di quadrati della quadrettatura o anche, per esempio, disegnare un cerchio centrato in un punto A della quadrettatura (Fig.2) di raggio 6,4 cm (√41≈6,403), constatare che ci sono fino a 8 punti. della quadrettatura (due sulla figura) che potrebbero corrispondere al segmento cercato e verificarlo applicando il teorema di Pitagora ai triangoli ABD’ e AB’C’ ottenuti.
- Continuare poi la ricerca con la stessa strategia tracciando un cerchio di centro ancora A e di raggio 8,25 cm (√68 ≈ 8,246) (Fig.3), ottenere un punto C sulla quadrettatura che dà il secondo lato del triangolo AB’C di Boris, verificando che la lunghezza B’C vale √45 ≈ 6,7 cm.
géométrie plane, triangle, côté. mesure, quadrillage, sommet, nombre irrationnel
Punteggi attribuiti, su 396 classi di 8 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 9 | 131 (65%) | 19 (9%) | 5 (2%) | 19 (9%) | 28 (14%) | 202 | 0.98 |
Cat 10 | 113 (58%) | 23 (12%) | 6 (3%) | 5 (3%) | 47 (24%) | 194 | 1.23 |
Totale | 244 (62%) | 42 (11%) | 11 (3%) | 24 (6%) | 75 (19%) | 396 | 1.1 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
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