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Triangles rectangles

Identification

Rallye: 20.II.14 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

Résumé

Observer la construction d'une spirale constituées de triangles rectangles et trouver les dimensions du 100e triangles. Les côtés de l'angle droit du premier triangle mesurent 1 et 2 cm.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori :

- Comprendre comment la suite des triangles est construite.

- Remarquer que les triangles successivement construits sont des agrandissements des précédents (conservation des angles et côtés dans le même rapport 2)

- En déduire que les côtés de l’angle droit du second triangle mesurent (en cm) 2 et 2², que les côtés de l’angle droit du troisième mesurent 2² et 2³ et ainsi de suite.

- Remarquer la régularité des mesures des côtés de l’angle droit (et éventuellement de l’hypoténuse) du nième triangle : 2^n-1 , 2², construire un tableau :

Les côtés du 100e triangle mesurent donc : 2⁹⁹ et 2¹⁰⁰ et son hypoténuse mesure 2⁹⁹ √5 d’après le théorème de Pythagore.

Notions mathématiques

triangle rectangle, triangle semblable, suites numériques, récursivité

Résultats

20.II.14

Points attribués sur 775 classes de 20 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 8	390 (69%)	72 (13%)	43 (8%)	13 (2%)	46 (8%)	564	0.68
Cat 9	78 (58%)	12 (9%)	13 (10%)	11 (8%)	20 (15%)	134	1.13
Cat 10	39 (51%)	5 (6%)	7 (9%)	5 (6%)	21 (27%)	77	1.53
Total	507 (65%)	89 (11%)	63 (8%)	29 (4%)	87 (11%)	775	0.84
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Les trois réponses correctes en cm (299 , 2100 , 299√5) et bien argumentée (on accepte aussi les réponses affichées sur une calculatrice : environ 6,33 x 1029 ; 1,27 x 1030 1 ; 1,41 x 1030)
3 points: Les trois réponses correctes avec des explications peu claires
2 points: Les trois réponses correctes sans explication
ou deux réponses correctes expliquées
ou réponses incorrectes dues à une seule erreur de comptage
1 point: Indication correcte des mesures des côtés de l’angle droit* pour au moins les quatre premiers triangles de la suite
0 point: Incompréhension du problème

* Les mesures des hypoténuses des triangles intermédiaires ne sont pas nécessaires pour résoudre le problème

Banque de problèmes du RMT