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Triangoli rettangoli

Identificazione

Rally: 20.II.14 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambito: GP
Famiglie:

Sunto

Osservare la costruzione di una spirale costituita da triangoli rettangoli e trovare le dimensioni del 100° triangolo. I cateti del primo triangolo misurano 1 e 2 cm.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere come è costruita la successione dei triangoli.

- Notare che i triangoli successivamente costruiti sono ingrandimenti dei precedenti (conservazione degli angoli e cateti nello stesso rapporto 2).

- Dedurre che i cateti del secondo triangolo misurano (in cm) 2 e 2² , che i cateti del terzo misurano 2² e 2³ e così via.

- Osservare la regolarità delle misure dei cateti (ed eventualmente dell’ipotenusa) dell’n-esimo triangolo, 2^n-1 e 2ⁿ, costruendo, ad esempio, una tabella:

I cateti del 100° triangolo misurano dunque 2⁹⁹ , 2¹⁰⁰ e l’ipotenusa misura 2⁹⁹ √5per il Teorema di Pitagora.

Risultati

20.II.14

Su 775 classi di 20 sezioni partecipanti alla prova II del 20° RMT:

Categoria	0	1	2	3	4	Nb.classi	Media
Cat 8	390 (69%)	72 (13%)	43 (8%)	13 (2%)	46 (8%)	564	0.68
Cat 9	78 (58%)	12 (9%)	13 (10%)	11 (8%)	20 (15%)	134	1.13
Cat 10	39 (51%)	5 (6%)	7 (9%)	5 (6%)	21 (27%)	77	1.53
Totale	507 (65%)	89 (11%)	63 (8%)	29 (4%)	87 (11%)	775	0.84
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

4 punti: Le tre risposte corrette in cm (299 , 2100 , 299 √5) e ben argomentate (si accettano anche le risposte del tipo: circa 6,33x1029, 1,27 x1030, 1,41 x1030 ottenute con una calcolatrice)
3 punti: Le tre risposte corrette con spiegazione poco chiara
2 punti: Le tre risposte corrette senza spiegazione
oppure due risposte corrette spiegate
oppure risposte non corrette dovute ad un solo errore di conteggio
1 punto: Indicate correttamente le misure dei cateti* per almeno i primi quattro triangoli della successione
0 punto: Incomprensione del problema

*Le misure delle ipotenuse dei triangoli intermedi non sono necessarie per la soluzione del problema