Quadretti e diagonali

Identificazione

Rally: 26.F.19 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GP, OPQ
Famiglia:

• COF - Formare e/o confrontare frazioni

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Sunto

Determinare il numero di quadretti attraversati dalla diagonale di un rettangolo quadrettato.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Osservare i tre esempi e costatare che, allorché la diagonale passa per una intersezione della quadrettatura, i due quadretti da una parte e dall’altra non sono considerati come «attraversati» e dunque rimangono bianchi (figure di sinistra e di destra), mentre se la diagonale attraversa una linea della quadrettatura al di fuori di una intersezione, entra in un nuovo quadretto, che dovrà essere colorato di grigio.

- Cominciare a colorare di grigio i quadretti del rettangolo e accorgersi che bisogna domandarsi se le quattro intersezioni (2; 5), (3; 8), (5; 13) e (6; 16) sono sulla diagonale o no.

- Stabilire che queste quattro intersezioni non sono sulla diagonale mediante un disegno più grande e molto preciso, oppure osservando che i rapporti 8/21 ≅ 0,381 (dimensioni del rettangolo), 2/5 = 0,4 e 3/8 = 0,375 sono tutti diversi (riferendosi alla similitudine dei rettangoli, alla linearità, alla proporzionalità, alla pendenza, …).

- Contare i quadretti uno a uno (ogni volta che attraversa un segmento della quadrettatura si entra in un nuovo quadretto): sono 28. Nel caso in cui si consideri che la retta passa per due o quattro delle intersezioni, il conteggio errato dei quadretti attraversati dà rispettivamente 26 o 24 (si segnala che in un rettangolo con dimensioni due numeri naturali a e b primi fra loro, il numero di quadretti attraversati dalla diagonale è a + b - 1 , in questo caso 8 + 21 - 1 = 28)

- Per la seconda domanda, constatare che i numeri 21 e 9 hanno 3 come massimo comun divisore, che la diagonale passerà per i nodi (3; 7) e (6; 14)

e che il problema si riduce a quello della diagonale che attraversa un rettangolo 3 × 7 quadretti identico a questo, ripetuto tre volte. In questo caso ci sono 9 quadretti attraversati dalla diagonale su ciascuno di questi rettangoli, in tutto:

3 × 9 = 27 quadretti.

Nozioni matematiche

...

Risultati

26.F.19

Punti attribuiti, su 51 classi di 8 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Le due risposte corrette (28 e 27 quadretti attraversati), con spiegazioni chiare e complete del tipo di quelle indicate nell’analisi
• 3 punti: Le due risposte corrette, ma non colorati i quadretti per la prima e/o spiegazioni incomplete o poco chiare per la seconda
  oppure un errore di conteggio o di calcolo per uno solo dei due rettangoli e dettagli come per 4 punti
• 2 punti: Le due risposte corrette senza alcuna spiegazione
  oppure risposta corretta per il primo rettangolo e risposta errata per il secondo
  oppure risposta errata per il secondo e risposta corretta per il primo con spiegazione chiara
• 1 punto: Risposta 24 o 26 per il primo rettangolo e/o 29 per il secondo.
• 0 punto: Incomprensione del problema