Banca di problemi del RMT
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Determinare il numero di quadretti attraversati dalla diagonale di un rettangolo quadrettato.
Analisi a priori
- Osservare i tre esempi e costatare che, allorché la diagonale passa per una intersezione della quadrettatura, i due quadretti da una parte e dall’altra non sono considerati come «attraversati» e dunque rimangono bianchi (figure di sinistra e di destra), mentre se la diagonale attraversa una linea della quadrettatura al di fuori di una intersezione, entra in un nuovo quadretto, che dovrà essere colorato di grigio.
- Cominciare a colorare di grigio i quadretti del rettangolo e accorgersi che bisogna domandarsi se le quattro intersezioni (2; 5), (3; 8), (5; 13) e (6; 16) sono sulla diagonale o no.
- Stabilire che queste quattro intersezioni non sono sulla diagonale mediante un disegno più grande e molto preciso, oppure osservando che i rapporti 8/21 ≅ 0,381 (dimensioni del rettangolo), 2/5 = 0,4 e 3/8 = 0,375 sono tutti diversi (riferendosi alla similitudine dei rettangoli, alla linearità, alla proporzionalità, alla pendenza, …).
- Contare i quadretti uno a uno (ogni volta che attraversa un segmento della quadrettatura si entra in un nuovo quadretto): sono 28. Nel caso in cui si consideri che la retta passa per due o quattro delle intersezioni, il conteggio errato dei quadretti attraversati dà rispettivamente 26 o 24 (si segnala che in un rettangolo con dimensioni due numeri naturali a e b primi fra loro, il numero di quadretti attraversati dalla diagonale è a + b - 1 , in questo caso 8 + 21 - 1 = 28)
- Per la seconda domanda, constatare che i numeri 21 e 9 hanno 3 come massimo comun divisore, che la diagonale passerà per i nodi (3; 7) e (6; 14)
e che il problema si riduce a quello della diagonale che attraversa un rettangolo 3 × 7 quadretti identico a questo, ripetuto tre volte. In questo caso ci sono 9 quadretti attraversati dalla diagonale su ciascuno di questi rettangoli, in tutto:
3 × 9 = 27 quadretti.
...
Punti attribuiti, su 51 classi di 8 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 3 (11%) | 2 (7%) | 15 (56%) | 1 (4%) | 6 (22%) | 27 | 2.19 |
| Cat 10 | 1 (4%) | 3 (13%) | 9 (38%) | 3 (13%) | 8 (33%) | 24 | 2.58 |
| Totale | 4 (8%) | 5 (10%) | 24 (47%) | 4 (8%) | 14 (27%) | 51 | 2.37 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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