Pendentifs en or

Identification

Rallye: 27.F.10 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires

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Résumé

Comparer l'aire de trois figures non polygonales et concaves obtenues en ajoutant et en supprimant des demi-disques de rectangles

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que la quantité d’or dépend de l’aire du pendentif.

- Constater qu'il s'agit de figures non polygonales.

- Se rendre compte qu’il est nécessaire de comparer les aires après avoir considéré un pendentif à la fois.

- Stratégies possibles :

- Faire le choix du carreau (c) comme unité d’aire.

- Décomposer chaque figure, « découper » et recoller les morceaux et se rendre compte que le pendentif d'Anna a une aire égale à celle d’un rectangle de 6 × 4 = 24 c plus celle d’un demi-disque, le pendentif de Béatrice a une aire égale à celle d’un rectangle de 8 × 4 = 32 c et le pendentif de Camille a une aire égale à celle d’un rectangle 4 × 2 = 8 plus celle d’un carré 4 × 4 = 16 donc de 24 carrés, plus celle de la partie dépassant du demi-disque inscrit dans un rectangle 4 × 2. Il est immédiatement évident que le pendentif de Béatrice est celui qui a la plus grande aire, il reste alors à déterminer de manière approximative celui qui a une plus petite aire entre le pendentif d'Anna et celui de Camille. L’aire du demi-disque est plus grande que l’aire de la partie excédentaire, donc le pendentif de Camille est celui qui a la plus petite aire.

Ou

- Procéder au comptage des carreaux contenus dans chaque figure, pour déterminer l’aire de manière approximative : 30 c < le pendentif d'Anna < 31 c, le pendentif de Béatrice est de 32 c, 25 c < le pendentif de Camille < 26 c.

Déduire que le pendentif pour lequel plus d’or a été utilisé est celui de Béatrice, et celui pour lequel moins d’or a été utilisé est celui de Camille.

Ou

- Procéder au calcul de l’aire approximative des figures individuelles, qui peuvent être reliées aux rectangles en prenant un carreau comme unité d’aire (6 x 4 = 24 c Anna, 4 x 8 = 32 c Béatrice, 4 x 8 = 32 c Camille), auxquels des demi-disques identiques ont été ajoutés et supprimés. L’aire approximative d’un demi-disque est 6,28 = (3,14 × 2²) / 2.

   Aire du pendentif d’Anna : 24 ˗ 6,28 + 6,28 + 6,28 = 30,28 c

   Aire du pendentif de Béatrice : 32 - 6,28 – 6,28 + 6,28 + 6,28 = 32 c

   Aire du pendentif de Camille : 32 – 6,28 – 6,28 + 6,28 = 25,72 c

En déduire que le pendentif pour lequel plus d’or a été utilisé est celui de Béatrice, et celui pour lequel moins d’or a été utilisé est celui de Camille.

Notions mathématiques

figure, cercle, aire, comparaison, quadrillage

Résultats

27.F.10

Points attribués sur 239 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (le pendentif de Béatrice est celui pour lequel plus d’or a été utilisé et celui de Camille est celui pour lequel moins d’or a été utilisé ou formulation équivalente) avec une description claire de la procédure effectuée (décomposition, comptage, comparaison des figures ou calculs approchés d’aires)
• 3 points: Réponse correcte avec une description peu claire de la procédure suivie
  ou réponse erronée en raison d'une seule erreur de calcul ou de comptage avec une description claire de la procédure suivie
  ou calcul de l’aire de seulement deux pendentifs
• 2 points: Seule la figure de plus grande aire est identifiée, avec une explication complète, avec présence au moins de tentatives pour déterminer l'aire des deux autres surfaces
  ou calcul de l’aire d’un seul pendentif
• 1 point: Réponse correcte sans explication
  ou début du raisonnement correct : il est clair que la grandeur en jeu est l’aire
• 0 point: Incompréhension du problème (par exemple, le périmètre de la zone est pris en compte à la place de l’aire)