Tre amici e i loro disegni

Identificazione

Rally: 20.II.06 ; categorie: 4, 5, 6 ; ambito: GP
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• CA/P - Confrontare aree su una quadrettatura
• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• LA/UA - Gestire unità d’area
• QUA - Lavorare su una quadrettatura
• QUA/GQ - Gestire poligoni su carta quadrettata

Remarque et suggestion

Sunto

Cercare e confrontare perimetri e aree di tre poligoni disegnati su una griglia a maglie quadrate. Disegnare, sulla medesima griglia, un poligono di perimetro e area dati.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Osservare i perimetri delle tre figure e riconoscere che ci sono due tipi di segmenti, quelli la cui lunghezza corrisponde ad un lato (l) di un «quadretto» e quelli la cui lunghezza corrisponde ad una sua diagonale (d).

- Per ogni figura, contare questi due tipi di segmenti e trovarne i perimetri: ottagono, 4d + 4l; pentagono, 2d + 8l; esagono, 2d + 8l; oppure effettuare misure con l’aiuto di una riga graduata.

- Trovare le aree delle tre figure contando i quadretti (q) e i mezzi quadretti: ottagono, 7q; pentagono, 7q; esagono, 5q; oppure confrontare le aree per ritagli e sovrapposizioni.

- Stabilire che la figura di Anna è il pentagono.

- Fornire una spiegazione che mostri come sono stati determinati perimetri ed aree.

- Per disegnare una figura avente la stessa area e lo stesso perimetro di quello di Anna, cercare una disposizione di 2 segmenti di tipo d e 8 segmenti di tipo l che dia un’area di 7 q. Ci sono varie figure possibili, come ad esempio, le seguenti:

Nozioni matematiche

figura, chiuso, confronto, misura, lunghezza, area, diagonale, quadrato, unita, isoperimetria, griglia, quadrettatura

Risultati

20.II.06

Su 1730 classi di 20 sezioni partecipanti alla prova II del 20° RMT,

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta completa: è individuata la figura di Anna (pentagono), con spiegazione corretta e completa, ed è disegnata una figura con le stesse caratteristiche di quella di Anna
• 3 punti: Risposta dove sia individuata la figura di Anna con spiegazione incompleta e disegno corretto della quarta figura
  oppure riconosciuta la figura di Anna con spiegazioni chiare ma con disegno della quarta figura parzialmente corretto (solo per l’area o solo per il perimetro)
• 2 punti: Risposta parziale con due delle tre condizioni precedenti (per esempio, riconosciuta la figura di Anna e spiegazione senza alcun altro disegno, oppure riconosciuta la figura di Anna e disegno corretto della quarta figura senza alcuna spiegazione)
• 1 punto: Individuata la figura di Anna senza spiegazioni e senza la quarta figura
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

L’ostacolo principale, come anticipato nell’analisi del compito è quello insito nella relazione “lato e diagonale dei quadretti della griglia” in merito alla conservazione o non conservazione di lunghezze. Tale ostacolo non impedisce di individuare la figura di Anna anche laddove non si differenzino le lunghezze dei lati e delle diagonali dei quadratini (molti allievi spiegheranno che “la figura di Anna ha la stessa area di quella di Bea e lo stesso perimetro di quella di Carlo perché è formata da 7 quadratini come quella di Bea e 10 lati come quella di Carlo). Peraltro, il permanere dell’ostacolo, impedirà di rispondere correttamente alla seconda richiesta, in quanto, se non si distinguono i due tipi di segmenti in gioco, per disegnare una figura avente la stessa area e lo stesso perimetro di quello di Anna (pentagono) non si cercherà coscientemente una disposizione di 2 segmenti di tipo d e 8 segmenti di tipo l che dia un’area di 7 q.

Anche nel caso di ricerca delle risposte tramite misurazioni dirette, nel caso in cui il sapere relativo alla differenza di lunghezza dei due tipi di segmenti non è acquisito, i pochi millimetri di differenza non agiscono come “spia” di una diversità.

Indicazioni didattiche

Il problema in oggetto da un lato richiede il confronto di figure sia per quanto riguarda i perimetri e sia per quando riguarda le aree, dall’altro richiede la costruzione di una nuova figura avente sia area che perimetro uguali ad una figura data. Permette pertanto di affrontare due problematiche complementari: il confronto fra figure e la costruzione di figure. La costruzione corretta di una o più nuove figure è possibile a partire dalla comprensione della differenza fra lato e diagonale di un quadrato.

Il problema pertanto può essere utilizzato, per i più piccoli, come approccio alla problematica degli elementi di un quadrato, per i più grandi come verifica della padronanza di tali aspetti.

Potrebbe essere interessante presentare il problema anche con una quadrettatura “più grande”, in modo che, almeno tramite la misurazione diretta, gli allievi percepiscano la non conservazione della lunghezza nei due tipi di segmenti.

Per andare più lontano

Per introdurre un nuovo sapere, in questo caso la non conservazione delle lunghezze di lato e diagonale di un quadrato, non è certo sufficiente fare ricorso ad un solo problema. In effetti, il problema “Tre amici e i loro disegni” fa parte di una serie di problemi che fanno intervenire il confronto di lunghezze su griglie quadrettate. L’insieme di tali problemi potrebbe costituire una sorta di approccio e poi rafforzamento del nuovo sapere in gioco.

Per esempio:

• Attraverso la quadrettatura Distinguere le unità “lati” dalle unità “diagonali” dei quadretti di una griglia quadrettata
• Il tavolo da spostare (Prima finale internazionale) Distinguere rettangoli da parallelogrammi non rettangoli
• Ritaglio di triangoli Individuare segmenti congruenti su una griglia quadrata

Bibliografia

Crociani C., Salomone L.: 2001, ‘Un problema di tipo geometrico: Attraverso la quadrettatura’, in Grugnetti, Jaquet, Crociani, Doretti, Salomone (Eds.) RMT: evoluzione delle conoscenze e valutazione dei saperi matematici, Atti delle giornate di studio sul Rally matematico transalpino, Siena 1999 - Neuchâtel 2000, Università di Siena, IRDP di Neuchâtel, 118-128.

Crociani C:, Doretti L., Grugnetti L.: 2012, ‘Difficoltà nel confronto di lunghezze’, La Gazzetta di Transalpino), n. 2, 72-84. (Versione francese ‘Difficultés dans la comparaison de longueurs’, 85-98).

Jaquet F.: 2009, ‘La finale internazionale du 16e RMT, problèmes et analyse’, in L. Grugnetti, F. Jaquet (Eds) Rally Matematico Transalpino e intercultura, ARMT, SCNAT, 225-253.

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