Assemblages de triangles (II)

Identification

Rallye: 28.I.13 ; catégories: 7, 8 ; domaines: GP, GM
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

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Résumé

Rechercher, parmi les polygones obtenus en assemblant par des côtés de même longueur six triangles rectangles égaux (dont les côtés mesurent 3 ; 4 et 5 cm), l’un de ceux dont le périmètre est maximal.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Observer les exemples pour s’approprier les règles de construction des figures.

- Procéder par essais : après avoir construit une figure et calculé son périmètre, chercher à en construire un autre dont le périmètre est plus grand et continuer ainsi en cherchant des figure avec des périmètres de plus en plus grands.

Ou

- Se rendre compte que pour obtenir le périmètre maximal il faut avoir le maximum de côtés de triangles sur le pourtour et comprendre que le périmètre sera le plus grand si ceux-ci sont les côtés les plus longs des triangles.

- Quelle que soit la figure formée, il y a toujours cinq côtés communs et donc, puisqu’il n’y a que 18 côtés de triangles et 5 en commun, le pourtour sera formé de 18 – (2 x 5) = 8 côtés, dont seuls six peuvent être des hypoténuses et deux pouvant être des côtés les plus grands de l’ange droit. Le périmètre le plus grand sera donc 6 × 5 + 2 × 4 = 38 (en cm).

- Chercher ensuite à dessiner un polygone ayant ce périmètre.

Ou

- Raisonner tout de suite sur le périmètre. La somme des périmètres de tous les triangles est 12 × 6 = 72. Les côtés adjacents ne font pas partie du pourtour et leurs mesures n’interviennent pas dans le calcul du périmètre. En disposant les triangles deux à deux avec un seul côté commun, seuls le premier et le dernier peuvent avoir leur hypoténuse et le côté « 4 cm » sur le contour, par conséquent leurs côtés « 3 cm » sont communs au deuxième et au cinquième triangle, qui auront à leur tour un côté « 4 cm » commun avec les troisième et quatrième triangles qui eux auront leurs côtés « 3 cm » en commun. On en déduit que le périmètre maximum du polygone est 72 – (2 × 2 × 3 + 2 × 2 × 4 + 2 × 3) = 38.

- Chercher ensuite à dessiner une figure ayant ce périmètre.

- Voici un exemple :

Notions mathématiques

polygone, triangle, triangle rectangle, composition, périmètre, longueur, côté, addition, maximum

Résultats

28.I.13

Points attribués sur 1839 classes de 15 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Dessin correct d’une figure de 38 cm de périmètre avec indication et calcul du périmètre
• 3 points: Dessin correct d’une figure de 38 cm de périmètre avec indication du périmètre mais sans le calcul
  ou Dessin correct d’une figure de 36 cm de périmètre avec indication et calcul du périmètre
• 2 points: Dessin correct d’une figure de 38 cm de périmètre sans indication ni calcul du périmètre
  ou dessin correct d’une figure de 38 cm de périmètre mais avec erreur de calcul du périmètre
  ou dessin correct d’une figure de 36 cm avec indication du périmètre mais sans le calcul
  ou dessin correct d’une figure de 34 cm de périmètre avec indication et calcul du périmètre
• 1 point: Dessin correct d’une figure de 34 cm avec indication du périmètre mais sans le calcul
  ou début de recherche cohérente (dessin de plusieurs figures respectant les contraintes sans aboutir à une conclusion)
• 0 point: Incompréhension du problème (dessin de figures qui ne respectent pas les règles)