Pannello decorativo

Identificazione

Rally: 28.I.16 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: GP, FN
Famiglia:

• SN - Gestire una successione numerica

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Sunto

In una progressione geometrica di ragione 1/2 a partire da 60 000, determinare il primo dei termini minore di 1, in un contesto geometrico relativo a una successione di rettangoli per i quali l’area di ognuno di essi è la metà di quella del precedente.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Capire con quale regolarità si susseguono le dimensioni degli scampoli (rettangoli) da sistemare sul pannello rettangolare: da un rettangolo al successivo, alternativamente, una dimensione è inalterata mentre l’altra è metà della precedente (a partire dal primo scampolo la cui lunghezza è uguale a quella del pannello e la larghezza è la metà di quella del pannello).

- Eventualmente si può rappresentare la situazione mentalmente e/o con un disegno, sistemando i primi scampoli sul pannello:

- Capire che il primo scampolo ricopre una metà del pannello, e passando alla rappresentazione in frazione, è ½ del pannello, come la parte ancora da ricoprire. Capire poi che il secondo scampolo è la metà del primo e così via

- Capire che ogni scampolo aggiunto è metà del precedente e che è uguale alla parte ancora da ricoprire. Capire che il ricoprimento si ferma quando la parte rimanente da ricoprire avrà un’area minore di 1 cm²

- Capire che per effettuare i calcoli, è opportuno dapprima trasformare i 6 m² della superficie del pannello in cm², trovando 60 000 cm²

- Ragionare sulle parti da ricoprire: a partire da 30 000 (che corrisponde al primo scampolo), dimezzare progressivamente fino ad arrivare a un numero inferiore a 1, che corrisponde al sedicesimo scampolo.

Oppure

- Ragionare sulla parte già ricoperta e sommare con la calcolatrice le aree degli scampoli progressivamente aggiunti, a partire dal primo, di area 30000 cm²: 30000+15000+7500+3750+1875+937,5+468,75, …; capire che mancherà meno di 1 cm² quando la somma supererà il valore 59999 e che il numero di scampoli è il numero di addendi della somma. Con il sedicesimo termine (0,915527344) si ha:

30000+15000+7500+3750+1875+937,5+468,75+…+1,831054688+0,915527344=59999,08447

Quindi Aurora ha bisogno di 16 scampoli per avere meno di 1 cm² da ricoprire.

Nozioni matematiche

serie, progressione geometrica, approssimazione, limite, similitudine, riduzione, rettangolo, lunghezza, lato

Risultati

28.I.16

Punti attribuiti su 793 classi di 13 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta (Aurora ha bisogno di 16 scampoli) con spiegazione chiara e completa (per esempio con applicazione della procedura di dimezzamento successivo: 60 000, 30 000, 15 000 fino a 0,915 ... o per somme successive di aree come nell'esempio sopra)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione lacunosa (senza il dettaglio delle aree successive approssimate a 1 o a 60 000), ma dalla quale si capisca il ragionamento
  oppure risposta “Aurora ha bisogno di 15 o 17 scampoli” dovuta ad un errore di conteggio degli scampoli, ma con spiegazione chiara
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione
  oppure ragionamento ben spiegato a partire da un disegno o da una successione di calcoli, ma che non porta ad una risposta
  oppure risposta coerente ma errata dovuta ad esempio a un errore nella trasformazione da m² a cm²
• 1 punto: Inizio di ricerca corretto (per esempio, bozza di un disegno oppure alcuni termini della progressione o almeno quattro valori trovati con la calcolatrice …)
• 0 punto: Incomprensione del problema