Les deux papillons

Identification

Rallye: 29.I.06 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

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Résumé

Comparer l'aire d'un triangle rectangle, qui est la moitié d'un rectangle quadrillé (9 × 6), avec celle de deux autres triangles rectangles à joindre et qui permettent de reconstruire l'autre moitié du rectangle.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

Observer les figures et s’apercevoir que :

- dans les deux papillons le corps est un axe de symétrie, la confirmation peut avoir lieu par le pliage des figures le long du "corps" de chaque papillon, en créant la superposition des ailes ;

- les deux triangles du papillon de gauche (Laura) sont égaux ainsi que les deux couples de triangles du papillon de droite (Paola).

Comprendre que pour résoudre le problème, il faut comparer les aires des ailes des deux papillons.

De nombreuses procédures peuvent être suivies, par exemple :

- découpage (manuel ou figuré) et superposition de toutes les ailes du papillon de droite sur les ailes du papillon de gauche ; découpage et juxtaposition d'une couple d'ailes différentes du papillon de droite (fig.1) et d'une aile du papillon de gauche, ou de la couple d'ailes du papillon de gauche avec les deux couples du papillon de droit (fig.2-3) et reconnaître la congruence par superposition ;

fig. 1 fig. 2 fig. 3

- comptage des carreaux entiers puis les parties de carreaux du quadrillage (27 carreaux pour chacun des deux triangles du papillon de gauche ; 18 pour chacun des plus grands triangles et 9 pour chacun des plus petits triangles du papillon de droite).

Le comptage un à un des carreaux avec compensation des carreaux non entiers est délicat et peut entraîner des erreurs.

Ou, utilisation de la formule de l'aire du triangle, en choisissant, par facilité, la « base » et la « hauteur » qui suivent les lignes du quadrillage, compter le nombre de côtés de carreaux entiers présents sur les bases des triangles correspondant aux ailes, celui relatif aux hauteurs respectives pour la grande aile (9 × 6) / 2 = 27 ; pour la « grande des petites » "(9 × 4) / 2 = 18 et pour la « petite des petites » (6 × 3) / 2 = 9 ou prendre des mesures avec la règle graduée et calculer les aires en appliquant la formule.

Établir finalement que les ailes du papillon de gauche ont la même aire que celles du papillon de droite.

Notions mathématiques

rectangle, triangle, triangle rectangle, longueur, aire, mesure, quadrillage, unité d’aire, approximation

Résultats

29.I.06

Points attribués sur 2039 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Laura et Paula utilisent la même quantité de carton) avec découpage des ailes et comparaison par superposition / juxtaposition précise des pièces ou avec comptage des carreaux ou calculs détaillés des aires
• 3 points: Réponse correcte mais avec des superpositions / juxtapositions inexactes (chevauchement de pièces ou espaces vides entre les pièces) ou calculs avec approximation ou comptages non détaillés
• 2 points: Réponse erronée avec des superpositions / juxtapositions inexactes
  ou erreurs dans le comptage mais procédure bien comprise
  ou mesures effectuées avec une bonne approximation
• 1 point: Réponse correcte sans montrer les procédures suivies ou réponse « On voit que ... »
  ou début d'une recherche cohérente (par exemple : calcul de quelques aires ou identification du rectangle avec les triangles du papillon de gauche)
• 0 point: Incompréhension du problème