Les deux carrés

Identification

Rallye: 29.I.18 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: GP,
Familles:

• CA - Comparer des aires
• DEM - Effectuer une démonstration
• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• TR - Construire, utiliser et/ou effectuer une transformation géométrique

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Résumé

Justifier que, en faisant tourner un carré autour de l’un de ses sommets, situé au centre d’un autre carré égal, l’aire de l’intersection des deux carrés est constante.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Imaginer la rotation du second carré (ou la réaliser à l’aide d’un des carrés découpés) et constater que l’intersection change de forme, puis trouver que cette intersection est un quadrilatère mais qu’elle peut aussi être elle-même un carré ou encore un triangle.

- Comparer les aires des deux cas particuliers où l’intersection est un carré et celle où l’intersection est un triangle et constater que, dans chacun des deux cas, l’aire est un quart de carré entier.

figure

- Dans le cas général (où l’on a fait tourner le carré d’un angle quelconque), observer l’intersection et constater que c’est toujours un quadrilatère dont deux angles sont droits et deux côtés sont égaux (obtenus par une rotation de 90 degrés autour du centre de rotation, AB et AC sur la figure ci-contre). En déduire que les deux triangles rectangles (AKB et AHC sur la figure) sont égaux, leurs aires aussi et que le triangle « découpé » sur un côté de l’intersection est compensé par le triangle « ajouté » de l’autre côté.

Ou mesurer les dimensions des trois intersections (ou choisir des mesures hypothétiques) et calculer leur aire (par exemple comme somme de l’aire des deux triangles de la figure ci-jointe AQC et AQB). Comparer ce trois aires et déterminer qu’elles sont égales, en se rendant compte qu’il s’agit d’approximations.

Il y a encore d’autres partage des quadrilatères d’intersection ou d’autres moyens de se convaincre que l’aire de l’intersection reste constante.

L’approche d’une « démonstration » en géométrie pourra faire l’objet des exploitations didactiques de ce problème où l’aire de l’intersection est constante, quel que soit la valeur de l’angle de rotation.

Notions mathématiques

carré, aire, rotation, déduction, intersection, quadrilatère, triangle, angle, démonstration

Résultats

29.I.18

Points attribués sur 752 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (l’aire de l’intersection est toujours la même) en mentionnant que l’aire est celle d’un quart de carré (un des cas particulier ou d’un triangle équivalent pour l’autre cas particulier) et une justification mentionnant la compensation des triangles pour le cas général
• 3 points: Réponse correcte avec explication que l’aire est toujours la même, mais justification limitée aux trois exemples et non au « cas général »,
  ou à partir de mesures prises sur les figures et mention explicite qu’il s’agit d’approximations qu’on doit considérer comme égales
• 2 points: Réponse correcte (l’aire de l’intersection est toujours la même) avec explication pour l’un des cas particuliers seulement (et le cas général n’étant pas mentionné ou considéré comme évident),
  ou à partir de mesures prises sur les figures sans mention des d’approximations qu’on doit considérer comme égales
• 1 point: Réponse correcte (l’aire de l’intersection est toujours la même) sans explication,
  ou seulement la constatation de l’existence du cas particulier « carré » et/ou « triangle,
  ou réponse erronée (l’aire change) en raison d’un relevé inexact des mesures prises sur les figures,
  ou réponse erronée (l’aire change) avec trace d’explication qui montre un début de recherche cohérent mais avec erreur
* 0: Incompréhension du problème