Il tangram del falegname (I)

Identificazione

Rally: 29.II.10 ; categorie: 6, 7 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• CA/P - Confrontare aree su una quadrettatura
• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree

Remarque et suggestion

Sunto

A partire da una foto di un Tangram e dei suoi sette pezzi, trovare la misura del lato del Tangram conoscendo la misura del lato del quadrato piccolo ($6$ cm).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Osservare la foto del Tangram e “vedere” che si tratta di un puzzle di sette pezzi: constatare che ci sono cinque pezzi a forma di triangolo, che un pezzo è un quadrato (riportato anche nell’enunciato) e che l’ultimo è un parallelogramma.

- Passare dalla foto del Tangram alla figura che lo rappresenta.

• Analizzare i rapporti tra i lati dei pezzi (ci sono lati uguali? lati uno doppio dell’altro?) a partire dal solo dato numerico che è quello della misura del lato del quadrato piccolo ($6$ cm) e capire che la domanda riguarda il lato del Tangram. Oppure interessarsi alle aree dei pezzi (Ci sono superfici l’una doppia dell’altra? Pezzi la cui area è il doppio di quella di un altro?

- Ci sono diversi modi di procedere:

• riprodurre il disegno in grandezza reale a partire dal quadrato di lato $6$ cm, di cui si prolungano due lati perpendicolari (che diventeranno le diagonali del Tangram), ... Questa procedura permette di arrivare alla risposta $17$ cm, approssimata ad $1$ mm;
• osservare la figura, dedurre che la diagonale del quadratino piccolo rappresenta la metà del lato del Tangram da costruire. Alcuni in cat.7 potrebbero aver già conosciuto il teorema di Pitagora, calcolare così la misura della diagonale e raddoppiarla (con arrotondamento);
• ritagliare i pezzi e proseguire con spostamenti e sovrapposizioni (traslazioni, rotazioni, ...);
• ricorrere, in un ambito geometrico, a deduzioni a partire dalle proprietà elementari delle figure. Per esempio, ecco alcune di queste deduzioni (il pezzo quadrato è rappresentato dalla figura geometrica quadrato):

- dalla posizione di questo quadrato, i due triangoli grandi e i due triangoli piccoli, vicini, sono rettangoli;

- poiché i due triangoli grandi sono rettangoli, il loro lato comune è sulla diagonale del Tangram che ha un estremo sul vertice inferiore destro e separa il triangolo medio in due triangoli rettangoli;

- la diagonale “verticale” del quadrato piccolo lo scompone in due triangoli rettangoli, spostando di $6$ cm il semi-quadrato di sinistra lungo la diagonale del Tangram, esso si sovrappone esattamente sul piccolo triangolo del Tangram in alto a destra, questo triangolo piccolo è un semi-quadrato, i suoi cateti misurano $6$ cm e la sua ipotenusa (che indichiamo qui provvisoriamente «d» può essere stimata misurando la diagonale di un quadrato di lato $6$ cm) $\approx 8,5$ cm. Le semi-diagonali del Tangram o i cateti dei triangoli grandi misurano $12$ cm.

Si arriva così alle quattro lunghezze possibili dei lati dei sette pezzi: $6$ o $12$ o «d» o $2 \times$ «d» (in cm); in particolare i lati dei grandi triangoli rettangoli misurano $12$, $12$, e $2 \times$ «d» (in cm) di cui l’ultimo darebbe la risposta al problema se si fosse capaci di calcolarla. Altrimenti gli allievi possono eventualmente disegnare un triangolo rettangolo isoscele rettangolo con i lati uguali di $12$ cm e misurare l’altro lato, quello indicato provvisoriamente con «d».

Oppure

- Considerare le aree dei pezzi a partire dalle deduzioni precedenti: in cm$^2$ quella del quadrato è $36$, quella di un triangolo piccolo $18$, quella del triangolo medio e del parallelogramma $36$, quella di ciascuno dei triangoli grandi $72$, e infine quella del Tangram $288$ (con il triangolo piccolo come unità di misura si trova $16$ e $16 \times 18 = 288$). Si può anche considerare che il triangolo medio è la metà di un quadrato, il quarto del Tangram in basso a destra, la cui area è $72$ (in cm$^2$).

In un caso come nell’altro, bisogna cercare il lato di un quadrato di cui si conosca l’area. Per $288$ è il numero che moltiplicato per se stesso dia $288$, indicato con $\sqrt{288}$ ma dato da una delle sue approssimazioni $\approx 17$ o $16,97$ ... Per il lato del quadrato di area $72 \approx 8,5$ o $8,48$ ... che bisognerà moltiplicare per $2$ per arrivare alla risposta.

Nozioni matematiche

geometria, tangram, tassellazione, pavimentazione, puzzle, poligono, triangolo, quadrato, diagonale, area, perimetro, rapporto, radice quadrata

Risultati

29.II.10

Punti attribuiti su 1812 classi di 18 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta: la misura del lato del Tangram è, in cm, $\sqrt{288}$, oppure un valore numerico da $16,8$ a $17,1$ cm nel caso di determinazione con il disegno, (con presentazione del disegno), oppure $\approx 17$ o $16,97$ ... con la calcolatrice o ancora $12\sqrt{2}$, per coloro che conoscono la formula $c\sqrt{2}$), con il dettaglio di tutte le misure intermedie trovate – di area o di lunghezza – e qualche parola per descrivere la procedura come, ad esempio: i triangoli piccoli sono la metà del quadrato piccolo, oppure il lato del tangram è il doppio della diagonale del quadratino interno con una giustificazione.
• 3 punti: Risposta corretta con il dettaglio di qualche misura intermedia trovata e descrizione poco chiara.
• 2 punti: Risposta corretta senza alcuna spiegazione né dettagli della procedura
  oppure risposta “non corretta” (per esempio con errori di calcolo), ma con il dettaglio di qualche misura intermedia trovata e descrizione chiara.
• 1 punto: Risposta con ricerca corretta che si ferma all’area del Tangram ($288$ cm$^2$)
  oppure misura prossima a $17$ (inferiore a $16,8$ e maggiore di $17,1$) senza alcuna presentazione di un disegno sul quale tale misura è stata presa
  oppure inizio corretto di ricerca con qualche misura o relazione trovata tra le aree o tra i lati delle figure.
• 0 punto: Incomprensione del problema.

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