Banca di problemi del RMT
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A partire da una foto di un Tangram e dei suoi sette pezzi, trovare la misura del lato del Tangram conoscendo la misura del lato del quadrato piccolo ($6$ cm).
- Osservare la foto del Tangram e “vedere” che si tratta di un puzzle di sette pezzi: constatare che ci sono cinque pezzi a forma di triangolo, che un pezzo è un quadrato (riportato anche nell’enunciato) e che l’ultimo è un parallelogramma.
- I saperi mobilizzati sono quelli che riguardano i rapporti tra lunghezze (monodimensionali o 1D) come ad esempio lati uguali, tra aree bidimensionali o 2D come ad esempio l'area del quadrato è doppia di quella del triangolino, tra lunghezze ed aree come ad esempio le formule classiche dove l'area (2D) è un prodotto di due misure di lunghezza (1D) tutto questo per ognuno dei tre tipi di figure, triangolo rettangolo isoscele, quadrato e parallelogramma. Questa conoscenza su ciascuna delle figure dovrà poi essere gradualmente combinata con quella delle figure giustapposte.
- nuovo sapere, particolarmente importanti in questa situazione è il rapporto tra il lato (c) e la diagonale di un quadrato (d); in termini algebrici: d = c√2. Si costruisce osservando che la diagonale di un quadrato è il lato di un secondo quadrato la cui area è il doppio del primo.
Esistono molteplici procedure di risoluzione, riguardando le figure unidimensionali (1D)
- riprodurre il disegno in grandezza reale a partire dal quadrato di lato $6$ cm, di cui si prolungano due lati perpendicolari (che diventeranno le diagonali del Tangram), ... Questa procedura permette di arrivare alla risposta $17$ cm, approssimata ad $1$ mm;
- tramite ingrandimento dopo aver misurato le dimensioni della figura con un righello e calcolato la "scala" o "fattore di ingrandimento",
- osservando le figure composte o vicine e le deduzioni che se ne possono trarre,
- mediante misurazione. con il righello graduato, dimensioni non intere come la diagonale del quadrato, o alcuni lati dei triangoli e il parallelogramma, combinate con le misure dei lati interi.
Partendo dallo spazio delle lunghezze (1D) passando a quello delle aree (2D) per poi ritornare a quello delle lunghezze, esistono anche diverse procedure:
- calcolare l'area del quadratino di lato 6 cm: 36 cm$^2$, pavimentare il tangram con triangoli di area 18 cm$^2$, notare che la parte in basso a destra del tangram ha un'area di quattro quadratini e che l'area del tangram è quella di 8 quadrati ovvero 288 cm$^2$ e trovare la misura del lato del tangram che è il numero che moltiplicato per se stesso dà $288$, indicato con $\sqrt{288}$ cm, di cui una delle sue approssimazioni è $\approx 17$ cm oppure $\approx 16,97$ cm.
- trovare la misura della diagonale del quadratino, immaginando un quadrato di area doppia 72 cm$^2$ (ad esempio un quadrato formato dal triangolo medio e dai due piccoli giustapposti) il cui lato è proprio la diagonale del quadratino e, come in precedenza, è il numero che moltiplicato per se stesso dà $72$, indicato con $\sqrt{72}$ cm, di cui una sua approssimazione è $\approx 8,5$ cm. Questo valore consente di tornare allo spazio delle misure di lunghezza e calcolare la lunghezza del lato del tangram.
Punti attribuiti su 1812 classi di 18 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 465 (47%) | 289 (29%) | 100 (10%) | 35 (4%) | 92 (9%) | 981 | 0.98 |
| Cat 7 | 254 (31%) | 128 (15%) | 95 (11%) | 109 (13%) | 245 (29%) | 831 | 1.96 |
| Totale | 719 (40%) | 417 (23%) | 195 (11%) | 144 (8%) | 337 (19%) | 1812 | 1.43 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Quando le procedure si svolgono nello spazio (1D) gli errori sono dovuti alle imprecisioni delle misurazioni effettuate con il righello graduato o alla costruzione in scala reale. Sono molteplici e descritti in diversi articoli scritti a seguito dell'analisi a posteriori delle copie degli studenti. (Vedi Bibliografia)
Quando gli allievi calcolano le aree di un o alcuni pezzi, hanno ancora difficoltà nel creare una pavimentazione del tangram con 16 piccoli triangoli o 8 quadrati. Una volta trovata l'area del tangram (288) hanno ancora difficoltà a rendersi conto che essa è il prodotto del suo lato per se stesso (misura alla quale si potrebbe avvicinare con prove successive o mediante l'estrazione della radice quadrata.
Un ostacolo essenziale, per l'uno o l'altro tipo di procedura, è l'impossibilità di scrivere la misura desiderata in forma decimale finita o di rendersi conto che ci stiamo avvicinando a nuovi numeri.
Questa attività presenta le stesse possibilità didattiche del Il tangram del falegname (II) (29.II.17);
Le attività sul tangram coprono gran parte del programma di geometria piana della scuola dell'obbligo, al punto da pensare che i leggendari cinesi che "inventarono" questo puzzle lo fecero per scopi didattici. Basta leggere cosa dice Wikipedia a riguardo:
È costituito da sette tavolette (dette tan) inizialmente disposte a formare un quadrato.: cinque triangoli isosceli rettangoli di tre diverse dimensioni: due piccoli di superficie 1, uno medio della superficie 2 (lunghezze dei lati moltiplicate per √2 rispetto a quelle piccole, il suo lato piccolo corrisponde all'ipotenusa dei triangoli piccoli), due di superficie 4 (lunghezze dei lati moltiplicate per √2 rispetto al medio o per 2 rispetto ai piccoli), un quadrato, di superficie 2, il cui lato corrisponde ai lati corti di un piccolo triangolo; un parallelogramma (né rettangolo né rombo), di superficie 2, i cui lati corrispondono, rispetto al triangolino, in una direzione al cateto piccolo e nell'altra direzione all'ipotenusa. Ogni pezzo può essere ricoperto da un numero intero di copie del triangolino, che è quindi l'unità base del ritaglio. L'area totale del Tangram è 16 volte l'area di questo piccolo triangolo.
Ci sono milioni di figure da comporre con questi 7 pezzi, 13 dei quali sono poligoni convessi.
Con alcuni di questi pezzi possiamo comporre figure più semplici, in particolare 4 quadrati con aree 2, 4, 8 e 16 (in unità di "triangolo piccolo") i cui rapporti di aree per passare da uno all'altro sono 2 e i cui rapporti di lunghezza sono √2!!
Per muovere le parti utilizziamo le isometrie: traslazioni, rotazioni e simmetrie assiali.
Ci sono rapporti di similitudine tra "figure semplici" come tra i cinque triangoli delle aree 1,2, 4, 8 e 16!!
E soprattutto c'è la possibilità di collegare strettamente le manipolazioni alle espressioni aritmetiche e algebriche.
Quanto basta per dare senso alle attività geometriche, dai primi anni della scuola primaria fino alla fine della scuola secondaria di primo grado.
Esempi di attività
1. Trovare i quadrati che possono essere composti con uno o più pezzi del tangram.
2. Trovare i triangoli che possono essere composti con uno o più pezzi del tangram.
Questi primi due esempi ci permettono di stabilire una progressione di aree e misure di lati: ci sono 4 quadrati con aree 2, 4, 8 e 16 (in unità di "triangolo piccolo"), il rapporto tra le aree da uno a quello successivo è 2, il rapporto tra i lati da uno a quello successivo è √2. Allo stesso modo, ci sono 5 triangoli con aree 1, 2, 4, 8, 16 che formano una progressione con lo stesso rapporto di aree (2), e il rapporto dei lati dell'angolo retto o delle ipotenuse anche di √2.
Proposta per i I quattro quadrati
3. Trovare i poligoni convessi che possono essere ricavati dai 7 pezzi del tangram.
Il y en a 13, de même aire mais de périmètres différents. Leur recherche est une activité intense de mise en oeuvre des relations entre unités de longueurs permettant de mieux maîtriser les rapports entre un nombre et sa racine carrée.
Questi tre esempi di attività, attraverso il movimento delle parti, coinvolgono isometrie: traslazioni, rotazioni e simmetrie assiali.
E soprattutto c'è la possibilità di collegare strettamente le manipolazioni alle espressioni aritmetiche e algebriche.
Quanto basta per dare senso alle attività geometriche, dai primi anni della scuola primaria fino alla fine della scuola secondaria di primo grado.
Altri problemi :
- Divisione di un quadrato (20.I.19);
- La divisone del rettangolo (30.I.18);
- Un mosaico del Marocco (27.II.18);
DA SETTE POLIGONI A… SETTE POLIGONI /DE SEPT POLYNONES À … SEPT POLYGONES
Analisi a posteriori del problema “I sette poligoni” e delle due versioni del problema “Il Tangram del falegname” / Analyse a posteriori du problème « Les sept polygones » et de deux versions du problème
« Le Tangram du menuisier » Gruppo geometria per i grandi : Paola Bajorko, Brunella Brogi, Fabio Brunelli, Federica Curreli, Speranza Dettori, Florence Falguères, Lucia Grugnetti, François Jaquet, Elisabetta Mari, Elsa Renna, Patrizia Sabatini, M. Agostina Satta, Cinzia Utzeri, Vincenza Vannucci. IN Gazette de Transalpie no 12, pp. 41-83
Jaquet. F. Gli apporti del RMT. 2024. IN Gazzetta del Transalpino no 15, pp. 29-56
(c) ARMT, 2021-2025