Le puzzle (I)

Identification

Rallye: 29.F.14 ; catégories: 7, 8 ; domaines: GP, GM
Familles:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions

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Résumé

Étant donné un rectangle dont les dimensions sont connues, divisé en quatre rectangles semblables et égaux deux à deux, dessiner un autre rectangle avec des dimensions différentes de celui qui est donné, mais formé par les quatre mêmes triangles et déterminer la valeur de son périmètre.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Extraits de l’analyse de la tâche a priori

- Remarquer que le rectangle donné est divisé par sa diagonale en deux triangles rectangles égaux, et que ceux-ci sont à leur tour divisés par leurs hauteurs relatives en quatre triangles rectangles formant ainsi deux paires de triangles rectangles égaux.

- En déplaçant et retournant les triangles du puzzle, former un nouveau rectangle :

ou d’autres obtenus par symétries axiales par rapport aux côtés de ce rectangle.

- Pour trouver son périmètre, il y a deux stratégies bien différentes : des mesures approximatives sur un dessin précis ou des calculs géométriques exacts.

Remarquer que la longueur du nouveau rectangle est égale à celle de la diagonale du rectangle donné et que sa largeur est égale à la longueur commune des côtés des petits triangles.

Avec un dessin : reproduire soigneusement sur une feuille de papier le dessin du puzzle donné à l’aide d’un double décimètre et d’une équerre et mesurer les longueurs des côtés des angles droits des triangles rectangles.

- Trouver au mieux 5,4 cm et 7,2 cm pour le petit et 7,2 cm et 9,6 cm pour le grand.

- En déduire le périmètre de ce nouveau rectangle : 2 × (7,2 + 15) = 44,4 cm.

- Remarquer que les deux rectangles tout en ayant la même aire ont des périmètres différents (42 cm et 44,4 cm).

Ou bien par un calcul : comprendre qu’il faut connaître les longueurs des côtés des angles droits des triangles.

- Remarquer que la diagonale (AC) partage le rectangle en deux triangles rectangles égaux et que les hauteurs (DF) et (BH) forment quatre triangles rectangles égaux deux à deux.

- Comprendre qu’il faut d’abord calculer la longueur AC de la diagonale.

- Utiliser le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225. D’où AC = 15 cm.

- Pour trouver la longueur DF, on peut remarquer que le rectangles ABCD a une aire double de celle du triangle ADC et la calculer de deux manières différentes : c’est la moitié de celle du rectangle ABCD, c’est aussi le produit de sa base AC par sa hauteur DF.

- Pour trouver la longueur DF, on peut remarquer que le rectangles ABCD a une aire double de celle du triangle ADC et la calculer de deux manières différentes : c’est la moitié de celle du rectangle ABCD, c’est aussi le produit de sa base AC par sa hauteur DF.

- Pour trouver la longueur DF, on peut remarquer que le rectangles ABCD a une aire double de celle du triangle. ADC Ainsi, 2 × Aire (ADC) = AD × DC = AC × D

- En déduire cette propriété remarquable de la hauteur issue de l’angle droit dans un triangle rectangle : sa longueur est égale au produit des longueurs des côtés de l’angle droit divisé par celle de l’hypoténuse : DF = (AD x DC) / AC.

- Calculer la longueur DF : DF = (12 × 9) / 15 = 7,2 cm.

Notions mathématiques

polygone, rectangle, diagonale, isométrie, périmètre, Pythagore, triangle rectangle, aire, hauteur, similitude

Résultats

29.F.14

Points attribués sur 121 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse exacte (44,4 cm) avec des explications claires : un dessin précis ou utilisation du théorème de Pythagore pour AC et calcul de l’aire de ADC pour trouver la hauteur DF.
• 3 points: Réponse approchée (entre 44 cm et 45 cm) par des mesures sur un dessin soigné,
  ou réponse exacte calculée avec des explications peu claires.
• 2 points: Un dessin précis du nouveau rectangle et mesure de la longueur de la diagonale AC = 15 cm,
  ou un dessin peu précis mais avec un calcul de la longueur de la diagonale par Pythagore.
• 1 point: Dessin peu précis du nouveau rectangle (sans calcul du périmètre ni de la diagonale).
• 0 point: Incompréhension du problème ou réponse 42 cm.