Il puzzle (I)

Identificazione

Rally: 29.F.14 ; categorie: 7, 8 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• DEC - Ritagliare e/o assemblare figure
• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni

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Sunto

Dato un rettangolo di cui sono note le dimensioni, diviso in quattro triangoli rettangoli simili e congruenti due a due, disegnare un altro rettangolo con dimensioni diverse da quello dato, ma formato dagli stessi quattro triangoli e determinare il valore del suo perimetro.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Extratti dall'analisi a priori del compito

Osservare che il rettangolo è diviso dalla sua diagonale in due triangoli rettangoli congruenti, questi sono a loro volta divisi dall’altezza relativa all’ipotenusa in due triangoli rettangoli formando così due coppie di triangoli rettangoli congruenti. Spostando o ruotando i triangoli del puzzle, formare un nuovo rettangolo:

oppure altri ottenuti per simmetria assiale rispetto ai lati di questo rettangolo.

Per trovare il suo perimetro, ci sono due strategie molto diverse: attraverso misure approssimative su un disegno preciso o calcoli esatti effettuati applicando proprietà geometriche.

- Osservare che la lunghezza del nuovo rettangolo è uguale a quella della diagonale del rettangolo dato e che la sua larghezza è uguale alla lunghezza comune dei lati dei triangoli piccoli. Con un disegno: riprodurre precisamente su un foglio di carta il disegno del puzzle dato con l’aiuto di un doppio decimetro e di una squadra e misurare le lunghezze dei lati degli angoli retti dei triangoli rettangoli.

- Trovare al meglio 5,4 cm e 7,2 cm per il piccolo e 7,2 cm e 9,6 cm per il grande.

- Dedurne il perimetro di questo nuovo rettangolo: 2 × (7,2 + 15) = 44,4 cm.

- Osservare che i due rettangoli pur avendo la stessa area hanno perimetri differenti (42 cm e 44,4 cm).

Oppure con un calcolo: comprendere che occorre conoscere le lunghezze dei cateti dei triangoli rettangoli.

- Osservare che la diagonale (AC) divide il triangolo in due triangoli rettangoli uguali e che le altezze (DF) e (BH) formano quattro triangoli rettangoli, uguali a due a due.

- Comprendere che occorre prima calcolare la lunghezza AC della diagonale.

- Utilizzare il Teorema di Pitagora: AC² = AB² + BC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225. Da cui AC = 15 cm.

Per trovare la lunghezza DF, si può osservare che il rettangolo ABCD ha area doppia di quella del triangolo ADC e calcolarla in due modi differenti: è la metà di quella del rettangolo ABCD, è anche il prodotto della sua base AC per la sua altezza DF.

- Così, 2 × Area (ADC) = AD × DC = AC × DF.

- Dedurne questa proprietà notevole dell’altezza tracciata dall’angolo retto in un triangolo rettangolo: la sua lunghezza è uguale al prodotto delle lunghezze dei lati dell’angolo retto diviso per quella dell’ipotenusa: DF = (AD ×DC) / AC.

- Calcolare la lunghezza DF: DF = (12 × 9) / 15 = 7,2 cm.

Nozioni matematiche

poligono, rettangolo, diagonale, isometria, perimetro, Pitagora, triangolo rettangolo, area, altezza, similitudine

Risultati

29.F.14

Punteggi attribuiti su 121 classi de 21 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori

• 4 punti: Risposta corretta (44,4 cm) con spiegazioni chiare: un disegno preciso o utilizzazione del Teorema di Pitagora per AC e calcolo dell’area di ADC per trovare l’altezza DF.
• 3 punti: Risposta approssimata (tra 44 cm e 45 cm) con misure su un disegno preciso
  oppure trovata la risposta corretta con spiegazioni poco chiare.
• 2 punti: Un disegno preciso del nuovo rettangolo e misura della lunghezza della diagonale AC = 15 cm
  oppure un disegno poco preciso ma con calcolo della lunghezza della diagonale con il teorema di Pitagora.
• 1 punto: Disegno poco preciso del nuovo rettangolo (senza calcolo del perimetro né della diagonale).
• 0 punto: Incomprensione del problema, oppure risposta 42 cm.