La divisione del rettangolo

Identificazione

Rally: 30.I.18 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• DEC - Ritagliare e/o assemblare figure
• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri
• RP - Lavorare con una relazione di proporzionalità
• RP/CP - Fare un confronto sulla base di una relazione di proporzionalità

Envoyer une remarque ou une suggestion

Sunto

Un rettangolo, i cui lati misurano 5 m e 3 m, è diviso in quattro triangoli equivalenti tramite tre segmenti uscenti da un vertice; si chiede di individuare il triangolo di perimetro maggiore e di calcolarlo.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

-- Il primo compito consiste nell'immaginare o disegnare il rettangolo (che non è uno nella figura dell'enunciato) e comprendere che l'informazione “quattro triangoli aventi la stessa area” è essenziale per posizionare correttamente gli estremi dei segmenti che dividono il rettangolo .

- Una prima deduzione deve garantire che uno dei segmenti provenienti dal vertice superiore sinistro del rettangolo sia la diagonale che divide il rettangolo in due coppie di triangoli equivalenti: (R; B) e (J; V).

- Una seconda deduzione (che costituisce la chiave del problema) ci permette di dire che, poiché R e B hanno la stessa area e la stessa "altezza" (misurata parallelamente all'asta), devono avere "basi" isometriche (di 2,5 metri). Allo stesso modo le due "basi" dei triangoli J e V sono isometriche (1,5 m). La prima conoscenza mobilitata qui è la formula per l'area di un triangolo.

- A questo punto della risoluzione, sappiamo che R è un triangolo rettangolo i cui lati dell'angolo retto misurano 3 e 2,5 m, che possiamo calcolare la lunghezza della sua ipotenusa con la relazione pitagorica, allo stesso modo per il triangolo V i cui lati di l'angolo retto misura 5 e 1,5 m e la cui lunghezza dell'ipotenusa è (per calcolo mentale) maggiore di quella di R. Possiamo già dedurre che il triangolo J avrà il perimetro più lungo.

- Poiché la questione del problema richiede il calcolo del perimetro di J, la seconda conoscenza da mobilitare è la relazione pitagorica.

- Comme la question du problème demande de calculer le périmètre de J, le deuxième savoir à mobiliser est la relation de Pythagore.

triangolo R : 3 + 2,5 + √15,25 ≈ 9,405

triangolo B : √15,25 + 2,5 + √34 ≈ 12,236

triangolo J : √34 + 1,5 + √27,25 ≈ 12,551

triangolo V : √27,25 + 1,5 + 5 ≈ 11,720

Questi calcoli confermano che il triangolo J ha il perimetro più lungo: ≈ 12.551

La conoscenza "il perimetro di un triangolo è la somma delle tre misure dei suoi lati" non è qui riportata perché considerata ovvia, ma ci sono altre conoscenze che bisogna padroneggiare per ottenere una risposta corretta: riguardano l'approssimazione delle misure che non sono tutti numeri interi, decimali o razionali; il rapporto tra l'operazione "elevare al quadrato un numero" e "estrarre la radice quadrata di un numero", le regole della scrittura matematica"

Nozioni matematiche

rettangolo, perimetro, lunghezza, altezza, area, Pitagora

Risultati

30.I.18

Punteggi attribuiti su 1101 classi de 20 sezioni:

Secondo i criteri dell'analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta e completa (triangolo G, perimetro 12,551 m o 12,55 m o (√34+1,5+√109/2)m) con calcoli e con giustificazione delle misure 2,5 m e 1,5 m
• 3 punti: Risposta corretta e completa, ma non completamente giustificata (per esempio manca la motivazione delle misure 2,5 m e 1,5 m)
  oppure risposta solo parzialmente corretta, a causa di un errore di calcolo, ma ben giustificata
• 2 punti: Risposta solo parzialmente corretta, a causa di un errore di calcolo, senza giustificazione
• 1 punto: Inizio di ragionamento corretto
• 0 punto: Incomprensione del problema

Bibliografia

**Il difficile cammino dei problemi di "geometria piana" Le chemin difficile des problèmes de "géométrie plane". §3. “La divisione del rettangolo”/ “Le partage du rectangle”.**

Roberto Battisti, Brunella Brogi, Fabio Brunelli, Federica Curreli, Speranza Dettori, Florence Falguères, Lucia Grugnetti, François Jaquet, Luciana Rapposelli, Elsa Renna, Patrizia Sabatini, M. Agostina Satta, Cinzia Utzeri, Vincenza Vannucci. Gruppo geometria per i grandi. In La Gazzetta di Trasalpino / La Gazette de Transalpie no 13 pp.125-143