Le chat sur le toit

Identification

Rallye: 30.I.19 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: GP, GM, 3D
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LAV - Utiliser des longueurs, surfaces et volumes dans l'espace
• LAV/LA - Mesurer ou calculer des longueur et/ou des aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

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Résumé

Déterminer la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, en connaissant un côté du triangle et les côtés d’un rectangle. Utiliser la proportionnalité dans deux triangles semblables.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- S’approprier la situation en pendant à la position de l’échelle avec le pied sur le terrain devant le mur et l’extrémité sur le bord du toit.

- Comprendre qu’il y a plusieurs positions pour l’échelle et que la plus avantageuse (de longueur minimale) est celle qui, pour éviter le balcon, va le plus près possible, jusqu’à en toucher le bord supérieur.

- Modéliser la situation d’un point de vue mathématique (voir figure) : il s’agit de déterminer l’hypoténuse AE d’un triangle rectangle, en connaissant AB et les mesures des côtés d’un rectangle, en gris sur la figure. (1,2 m et 1 m)

- Comprendre que quelques-unes des données sont superflues et que pour déterminer AE, il suffit de reconnaitre que les triangles ADC et AEB sont semblables.

- Observer que le rapport de proportionnalité est de 3 (les longueurs des côtés du triangle AEB sont le triple de celles du triangle ADC).

- Déterminer la mesure de AE en utilisant les triangles semblables (Thalès ou proportionnalité) et le théorème de Pythagore, en obtenant la valeur de AE≈6,997 m.

Ou :faire un dessin à l’échelle du triangle et du rectangle inscrit (par exemple AB = 6cm, CD = 1,20 cm) et mesurer la longueur de l’hypoténuse AE. Rapporter la valeur obtenue aux dimensions originales en obtenant une valeur à peine inférieure à 7 m.

- Conclure que l’échelle doit avoir une longueur d’au moins 7 m.

Notions mathématiques

rectangle, triangle, similitude, longueur, proportionnalité, Pythagore

Résultats

30.I.19

Points attribués sur 1098 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (longueur minimale de l’échelle est de 7 m) avec explications claires et complètes qui met en évidence la proportionnalité entre les différentes mesures ou avec un dessin à l’échelle et des mesures suffisamment précises sur celui-ci
• 3 points: Réponse correcte avec explications incomplètes ou peu claires
  ou procédure correcte et bien justifiée jusqu’à la détermination de la mesure de AE, mais réponse manquante
• 2 points: Réponse fausse (6,5 m ou 7,5 m) à cause d’une erreur de calcul, mais procédure correcte
• 1 point: Réponse fausse (7,5 m) à cause d’une erreur de mesure
  ou début de recherche cohérente (par exemple : application du théorème de Pythagore dans le triangle ADC)
  ou réponse correcte sans aucune explication
• 0 point: Incompréhension du problème