Banca di problemi del RMT
gp179-it
|
|
Banca di problemi del RMTgp179-it |
|
Determinare il numero dei punti nascosti da un foglio bianco, sovrapposto ad un rettangolo che contiene due reti punteggiate
Riconoscere le due reti di punti sfalsate e gli allineamenti dei loro punti.
Le conoscenze in gioco sono il conteggio uno a uno dei punti di ciascuna griglia nelle due direzioni e, per le altre procedure, l’addizione ripetuta o la moltiplicazione.
- Una procedura consiste nel completare le due reti di punti del rettangolo grigio, disegnandole sul foglio bianco (il che esige, per essere efficace, molta precisione e un disegno con l’aiuto di un righello per gli allineamenti).
- Per evitare il disegno ci sono altre procedure che ricorrono alle regolarità delle reti di punti e alle enumerazioni per righe e per colonne per determinare il numero totale dei punti del foglio e trovare il numero di punti nascosti per sottrazione dei punti visibili.
- Ci sono 84 punti bianchi (7 × 12) 66 neri (6 × 11); 150 in totale. I punti visibili sono 61 (38 + 23). Ci sono dunque 89 punti nascosti (150 – 61).
conteggio, linea, allineamento, griglia, moltiplicazione, sottrazione
Punteggi attribuiti, su 929 classi di 6 sezioni:
Points attribués 0 1 2 3 4 N. classes m
Catégorie 4 89 269 65 53 78
Catégorie 5 69 208 71 79 111
Secondo i criteri determinati nell'analisi a priori :
* 4 points: Risposta corretta “89 punti nascosti”, con descrizione della procedura (disegni dei punti o dettaglio delle operazioni)
* 3 points: Risposta corretta con descrizione parziale o poco chiara OPPURE un errore nel conteggio di 1 o 2 punti in più o in meno in caso di disegno OPPURE un errore di conteggio delle righe o colonne in caso di calcolo
* 2 points: risposta corretta senza alcuna descrizione OPPURE errori di conteggio o di calcolo, da 3 a 5 punti
* 1 point: Inizio di ricerca
* 0 point: Incompréhension du problème
==== Procédures, obstacles et erreurs relevés ====
Les copies observées (environ 200 de la section de SI) ne font apparaître que les deux procédures mentionnées dans la tâche de résolution : d'une part le dessin des points cachés et/ou leur comptage ligne par ligne, d'autre part le calcul du nombre total des points de la feuille grise par multiplication et addition suivi de la soustraction du nombre des points visibles.
Malgré la simplicité du choix des procédures, ce sont les erreurs qui sont révélatrices des obstacles rencontrés car seulement 20 % des copies donnent la réponse exacte « 89 points cachés » et environ 15 % de réponses avec 87, 88, 90 ou 91 points cachés.
Pour les procédures par dessin des points cachés ce sont les droites des deux réseaux qui montrent le niveau de construction des savoirs en jeu. Certaines copies témoignent d’une perception des deux réseaux et de leurs alignements horizontaux et verticaux. (exemples 1, 2 et 3 partiellement).
Puis, sans une perception claire des droites, le comptage devient aléatoire (Exemple 4).
Pour certaines copies ce ne sont que les alignements verticaux ou horizontaux qui sont perçus, qu’ils soient dessinés ou non. (exemples 11 et 12).
Dans toutes les copies on relève l’importance que certains élèves attribuent aux distances entre les points (exemples 5, 9, 10) ou leur alignement sur des droites ou les deux simultanément. L’instrument « règle » a en effet deux fonctions : du côté gradué, de relever des mesures de longueur, du côté non gradué de modéliser la droite. Les élèves qui ne prennent den compte qu’une des deux directions et y reportent des longueurs ne sont pas conscients que l’autre dimension donne l’alignemen.
Toutes ce observations permettent d’affirmer que la notion « d’alignement » ou, plus généralement de « droite » comme support de l’alignement n’est pas «innée» mais est « à construire » pour de nombreux élèves de catégorie 4 et aussi 5, moins fréquemment.
Les procédures par calcul (multiplications et soustraction des points visibles), sont moins nombreuse, mais plus efficaces. Les erreurs se situent dans le comptage des points visibles (60 ou 62 au lieu de 61), dans le dénombrement des colonnes (11 au lieu de 12 pour les points blancs et 10 au lieu de 11 pour les points noirs).
{{img:31rmt2_fr-6a|}}
==== Exploitations didactiques ====
Les observations des copies font apparaître une progression dans la construction du concept de « réseau de points » (les blancs et les noirs) du rectangle gris de la figure donnée dans l’énoncé du problème. Ces deux réseaux sont les sommets de quadrillages. D’un point de vue didactique cette connaissance semble à première vue « élémentaire », « évidente », « naturelle » ou si commune qu’on ne l’envisage pas comme « nécessaire » dans le cadre d’un programme scolaire. « On ne va perdre son temps à observer un papier quadrillé que les élèves utilisent quotidiennement ! »
Le problème //Points cachés// exige un travail de construction qui va au-delà de constatations ou de perceptions visuelles qui vont apparaître en phase de débat entre groupes d’élèves ou d’institutionnalisation par l’enseignant. Il faut absolument que chaque élève dessine les deux réseaux en les prolongeant sur la feuille blanche de la figure : il doit tracer les droites parallèles précisément en comprenant qu’elles sont déterminées par les points de la partie visible du rectangle gris, il doit comprendre que les distances entre deux points voisins d’une même droite sont égales, que les deux directions de droites sont perpendiculaires. Puis il doit pouvoir vérifier qu’il y a effectivement 89 points cachés (et non 88 ou 90) et qu’il y a une manière de calculer le total des points par multiplications et addition (7 × 12) + (6 × 11) = 150 et qu’il y a une relation entre ce nombre (150), le nombre des points visibles (61) et le nombre des points cachés.
Ce dessin précis est essentiel pour la construction de cette connaissance du réseau des points aux sommets d’un quadrillage qui fait appel aux concepts de droite, parallèle, perpendiculaire, distance constante et perception visuelle.
==== Pour aller plus loin ====
==== Bibliographie ====
==== Fourre-tout ====
(c) ARMT, -2024