Banque de problèmes du RMT
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Étant donné deux rectangles homothétiques, trouver sur le second rectangle l’emplacement d’un point dont on connait la position sur le premier rectangle à partir d’une figure.
Ce problème est une reprise de Dove si posa la mosca (07.I.15 cat. 6-8)
- Capire, alla lettura dell’enunciato, che, poiché le due tende (rettangoli) sono una la riduzione dell’altra, si deve trattare di due rettangoli simili.
- Capire che è allora necessario tener conto della similitudine dei due rettangoli sia con 35/50=84/120=0,7 (rapporto larghezza/lunghezza), sia con il rapporto di similitudine (o fattore di scala) 120/50 e 84/35, per arrivare a ottenere il valore 2,4.
Una volta constatata la similitudine dei due rettangoli, cercare di capire quale procedura adottare per sistemare al posto giusto il centro del fiore sulla tenda piccola, tra le procedure, che sono molteplici, numeriche e/o geometriche:
- misurare le distanze del centro del fiore sul disegno dell’enunciato da due lati perpendicolari del rettangolo grande tra 1,6-1,9 in orizzontale e tra 2,6 e 2,9 in verticale (da verificare sugli elaborati degli allievi e riadattare eventualmente le misure) e calcolare con il fattore di scala le distanze corrispondenti del centro del fiore del rettangolo piccolo: tra 0,5 e 0,8 in orizzontale e tra 1,1 e 1,2 in verticale – sul disegno dell’enunciato.
- o ricorrere ad una quadrettatura opportuna e “proporzionale” dei due rettangoli, con il centro del fiore all’intersezione dei lati della quadrettatura come appare in elaborati del problema Dove si posa la mosca? 7° RMT, I prova, n.15 di cui questo problema è una variante.
- Capire che è possibile utilizzare una procedura geometrica che implica il parallelismo sia:
• pensando di tracciare due rette passanti ciascuna per il punto centrale del fiore e un vertice del rettangolo grande e conducendo poi le corrispondenti sul rettangolo piccolo con l’utilizzo, per esempio, di una squadretta e un righello o di un goniometro;
• oppure, dopo essersi resi conto che i due rettangoli della figura sono in particolare omotetici, cercare il centro di omotetia che rappresenta in effetti la procedura che sistema il centro del fiore in maniera certa al posto giusto.
omotetia, similitudine, ingrandimento, riduzione, proporzionalità, parallelismo
Punteggi attribuiti su 981 classi di 21 sezioni:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 317 (51%) | 139 (22%) | 60 (10%) | 56 (9%) | 48 (8%) | 620 | 1 |
| Cat 9 | 85 (49%) | 39 (22%) | 13 (7%) | 14 (8%) | 24 (14%) | 175 | 1.16 |
| Cat 10 | 73 (39%) | 49 (26%) | 20 (11%) | 16 (9%) | 28 (15%) | 186 | 1.34 |
| Total | 475 (48%) | 227 (23%) | 93 (9%) | 86 (9%) | 100 (10%) | 981 | 1.09 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Attenzione, laddove la soluzione venga trovata con le misure, a seconda delle fotocopie, le misure trovate potrebbero essere leggermente diverse. I correttori dovranno verificare direttamente sugli elaborati.
La tabella dei risultati evidenzia un "incompensione del problema" ovvero un fiore disegnato in una posizione "molto lontana da quella prevista" in circa la metà delle copie restituite.
Il confronto con i risultati del problema Dove si posa la mosca (07.I.15 cat. 6-8) del 2001 per la categoria 8, sembra indicare che le strategie utilizzate sono le stesse, anche in termini percentuali, ma che le difficoltà incontrate da gli allevi sono più importanti.
Infatti, se il problema del fiore al posto giusto può essere considerato come una variante del problema della mosca, quest'ultimo viene collocato in un contesto più evidente, quello di una fotografia, oggettivamente riconosciuta come una somiglianza.
I membri del Gruppo di Geometria Plane hanno analizzato gli elaborati delle loro sezioni e pubblicato un articolo nel numero 13 della Gazzetta del Transalpino (vedi bibliografia). Vi troviamo, con esempi di elaborati, i rari procedimenti efficaci, errori legati alla misurazione delle dimensioni con il righello o legati a posizionamenti approssimativi non argomentati e, in certi casi, riscontrati "a occhio", errori nell'elaborazione delle misurazioni (dove non siano stabiliti i rapporti tra le misurazioni, non sia considerata la loro proporzionalità o non sia preso in considerazione il rapporto tra le quantità), l'uso del calcolo dell'area (o del perimetro) e/o l'applicazione del teorema di Pitagora per trovare la misura delle diagonali e non giungere ad una conclusione, uso di un rapporto intuitivo di 1/3 tra le misure date, uso della sottrazione tra misure corrispondenti invece dell'uso della proporzionalità, confusione tra il rapporto delle aree e il rapporto delle lunghezze dei segmenti , ...
Un paragrafo dell’articolo sopra citato evidenzia le preoccupazioni del gruppo di lavoro Geometria piana:
//Pourquoi l’écart est-il si grand entre les nombreuses résolutions entachées d'erreurs et de malentendus et les rares interprétations correctes suivies de bonnes réponses aux trois problèmes analysés, comme dans nos autres problèmes de géométrie ?
L'obstacle, dans l’exemple de « La fleur au bon endroit » est-il uniquement la similitude qui entraîne la proportionnalité ou est-ce, encore une fois, l’absence de maîtrise de problèmes qui vont au-delà d'une application mécanique de ces connaissances ?
Résoudre un problème de simple application est bien différent, par exemple, d’appliquer des critères de similitude de triangles où le facteur est donné. Un problème comme le nôtre place les élèves dans une situation d’incertitude où ils doivent préalablement découvrir ou identifier la relation de similitude ou créer une "procédure personnalisée ! ...
L'uso didattico si rivela qui essenziale. La posizione esatta del fiore non ha più importanza, è la conoscenza (teoricamente nota dalla categoria 8) su cui bisogna "lavorare" affinché gli studenti siano in grado di mobilitarla. E ci vorrà del tempo (diverse sessioni) per passare da conoscenze teoriche o algoritmiche valide solo nei classici “esercizi” ad essere efficaci nel contesto di un problema “reale” dove non si tratta solo di applicare una regola:
Per il disegno geometrico, ad esempio, l'allievo deve disegnare e notare che, in un contesto come quello del fiore al posto giusto, c'è un "centro" di ingrandimento o di riduzione da cui parte un fascio di linee rette che collegano i corrispondenti punti di ogni figura e che ci siano paralleli da una figura all'altra (indipendentemente dalle designazioni "omotetia" o "similitudine").
Per proporzionalità esiste una relazione costante tra le misure di lunghezza dei segmenti corrispondenti da un figura all'altra, ma questa relazione non è valida per le aree.
Per il concetto di coordinate è possibile “quadrare” i rettangoli per orientarsi.
...
L'uso didattico di questo problema permette di ripassare tutte le conoscenze del "programma ufficiale" di matematica delle categoria 8 e successive.
Doretti.L. Dorsaz. M. Peix. A. Rinaldi. M-G. Strategie usate nella risoluzione di un problema sulla similitudine. Stratégies utilisées dans la résolution d'un problème de similitude. RMT: evoluzione delle conoscenze e valutazione dei saperi matematici. RMT : évolution des connaissances et évaluation des savoirs mathématiques. Ed. Grugnetti & al. Università di Siena, IRDP Neuchâtel 2000.
Battisti.R, Brogi.B, Brunelli.F, Curreli.F, Dettori.S, Falguères.F, Grugnetti.L, Jaquet.F, Rapposelli.L, Renna.E, Sabatini.P, Satta.MA, Utzeri.C, Vannucci.V. Il difficile cammino dei problemi di "geometrie piane. Le chemin difficile des problème de "géométrie plane". Gazette de Transalpie no 13 pp. 113 à 154.