Banca di problemi del RMT
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Dati due rettangoli omotetici, posizionare sul secondo il medesimo motivo disegnato sul primo.
Questo problema è una rielaborazione di Dove si posa la mosca (07.I.15 cat. 6-8)
- Déterminer le facteur de réduction de la photographie à partir des deux rectangles et vérifier qu'il est le même pour les deux dimensions : 2,5/6 = 3,5/8,4
- Comprendre, en lisant l’énoncé, que, puisque les deux stores (rectangles) sont l’un la réduction de l’autre, il doit s’agir de deux rectangles semblables.
- Comprendre qu’il faut alors prendre en compte que les deux rectangles sont semblables, à la fois avec 35/50 = 84/120 = 0,7 (rapport largeur/longueur), et avec le rapport d’homothétie (ou facteur d’échelle) 120/50 et 84/35, pour obtenir la valeur 2,4.
Une fois vérifié que les deux rectangles sont semblables, choisir quelle procédure adopter pour placer le centre de la fleur sur le petit rectangle au bon endroit, parmi les procédures, qui sont multiples, numériques et/ou géométriques. Par exemple :
- mesurer les distances du centre de la fleur aux deux côtés perpendiculaires du grand rectangle entre 1,7 et 1,9 à l’horizontal et entre 2,7 et 2,9 à la verticale (à vérifier sur les copies des élèves et éventuellement adapter les mesures) (environ 2,22; 3,4 - sur le dessin de l’énoncé) et calculer par le facteur d’échelle les distances correspondantes du centre de la fleur du petit rectangle (entre 0,7 et 0,8 à l’horizontal et entre 1,1 et 1,2 à la verticale – sur le dessin de l’énoncé)
- recourir à un quadrillage approprié et « proportionnel » des deux rectangles, avec le centre de la fleur à l’intersection des côtés du carré tel qu’il apparaît dans les productions d’élèves du problème d'origine.
- Comprendre qu’il est possible d’utiliser une procédure géométrique qui implique le parallélisme soit :
• penser à tracer deux lignes droites joignant chacune le point central de la fleur et un sommet du petit rectangle puis à reproduire les lignes correspondantes sur le petit rectangle avec l’utilisation, par exemple, d’une équerre et d’une règle ou d’un rapporteur,
• ou, après avoir réalisé que les deux rectangles de la figure sont homothétiques, recherchez le centre d’homothétie : procédure qui permet de placer de manière certaine le centre de la fleur au bon endroit.
homothétie, similitude, agrandissement, réduction, proportionnalité, parallélisme
Points attribués, sur 981 classes de 21 sections:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 317 (51%) | 139 (22%) | 60 (10%) | 56 (9%) | 48 (8%) | 620 | 1 |
| Cat 9 | 85 (49%) | 39 (22%) | 13 (7%) | 14 (8%) | 24 (14%) | 175 | 1.16 |
| Cat 10 | 73 (39%) | 49 (26%) | 20 (11%) | 16 (9%) | 28 (15%) | 186 | 1.34 |
| Totale | 475 (48%) | 227 (23%) | 93 (9%) | 86 (9%) | 100 (10%) | 981 | 1.09 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Attention, là où la solution est trouvée par les mesures, selon les photocopies, les mesures trouvées peuvent être légèrement différentes. Les correcteurs devront vérifier directement sur les copies.
Le tableau des résultats montre une "incompréhension du problème" ou une fleur dessinée sur un emplacement "très éloigné de celui qui est attendu" dans environ la moitié des copies rendues.
La comparaison avec les résultats du problème Où il faut faire mouche (07.I.15 cat. 6-8) de 2001 pour la catégorie 8, semble indiquer que les stratégies utilisées sont les mêmes, y compris en termes de pourcentages, mais que les difficultés rencontrées par les élèves sont plus importantes.
En effet, si le problème de la fleur au bon endroit peut être considéré comme une variante du problème de la mouche, ce dernier est placé dans un contexte plus évident, celui d'une photographie, objectivement reconnue comme une similitude.
Les membres du Groupe Géométrie plane ont analysé les copies de leurs sections et ont publié un article dans le numéro 13 de la Gazette de Transalpie (voir bibliographie). On y trouve, avec des exemples de copies d'élèves: les rares procédures efficaces, les erreurs liées à la mesure des dimensions à l'aide d'une règle ou liées à un positionnement approximatif non argumenté et, dans certains cas, trouvé "à l'oeil", les erreurs dans le traitement des mesures (où les relations entre les mesures ne sont pas établies, leur proportionnalité n'est pas envisagée ou la relation entre les quantités n'est pas prise en compte), le recours au calcul de l'aire (ou du périmètre) et/ou l'application du théorème de Pythagore pour trouver la mesure des diagonales et ne pas aboutir à une conclusion, l'utilisation d'un rapport intuitif de 1/3 entre les mesures données, le recours à la soustraction entre mesures correspondantes au lieu du recours à la proportionnalité, la confusion entre le rapport des aires et le rapport des longueurs des segments, ...
Un paragraphe de l'article cité précédemment relève les préoccupations du Groupe de travail "Géométrie plane":
//Pourquoi l’écart est-il si grand entre les nombreuses résolutions entachées d'erreurs et de malentendus et les rares interprétations correctes suivies de bonnes réponses aux trois problèmes analysés, comme dans nos autres problèmes de géométrie ?
L'obstacle, dans l’exemple de « La fleur au bon endroit » est-il uniquement la similitude qui entraîne la proportionnalité ou est-ce, encore une fois, l’absence de maîtrise de problèmes qui vont au-delà d'une application mécanique de ces connaissances ?
Résoudre un problème de simple application est bien différent, par exemple, d’appliquer des critères de similitude de triangles où le facteur est donné. Un problème comme le nôtre place les élèves dans une situation d’incertitude où ils doivent préalablement découvrir ou identifier la relation de similitude ou créer une "procédure personnalisée ! ...
L'exploitation didactique se révèle ici indispensable. L'emplacement exact de la fleur n'a plus d'importance, ce sont les savoirs (théoriquement connus dès la catégorie 8) qui doivent être "travaillés" pour que les élèves soient en mesure de les mobiliser. Et il faudra du temps (plusieurs séances) pour passer de connaissances théoriques ou algorithmiques valables seulement dans les "exercices" classiques pour être efficaces dans le contexte d'un "vrai" problème où il ne s'agit pas seulement d'appliquer une règle:
Pour le dessin géométrique, par exemple, l'élève doit dessiner et constater que, dans contexte comme celui de la fleur au bon endroit, il y un "centre" d'agrandissement ou de réduction dont part un faisceau de droites reliant les points correspondants de chaque figure et qu'il y a des parallèles d'une figure à l'autre (indépendamment des appellations "homothétie" ou "similitude").
Pour la proportionnalité il y a un rapport constant entre les mesures de longueurs de segments correspondants d'une figue à l'autre, mais que ce rapport n'est pas valable pour les aires.
Pour le concept de coordonnées, il est possible de "quadriller" les rectangles pour s'y repérer.
...
L'exploitation didactique de ce problème peut passer en revue tous les savoirs du "programme officiel" de mathématiques de catégorie 8 et suivantes.
Doretti.L. Dorsaz. M. Peix. A. Rinaldi. M-G. Strategie usate nella risoluzione di un problema sulla similitudine. Stratégies utilisées dans la résolution d'un problème de similitude. RMT: evoluzione delle conoscenze e valutazione dei saperi matematici. RMT : évolution des connaissances et évaluation des savoirs mathématiques. Ed. Grugnetti & al. Università di Siena, IRDP Neuchâtel 2000.
Battisti.R, Brogi.B, Brunelli.F, Curreli.F, Dettori.S, Falguères.F, Grugnetti.L, Jaquet.F, Rapposelli.L, Renna.E, Sabatini.P, Satta.MA, Utzeri.C, Vannucci.V. Il difficile cammino dei problemi di "geometrie piane. Le chemin difficile des problème de "géométrie plane". Gazette de Transalpie no 13 pp. 113 à 154.
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