Quatre amis et une belle mosaïque

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Rallye: 30.I.13 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: GP OPQ
Familles:

• AL - Traiter des alignements d'objets
• AL/REP - Se repérer sur un pavage
• AMQ - Additionner, multiplier, ... comparer, transformer des fractions
• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• COF - Former et/ou comparer des fractions
• QUA - Travailler sur un quadrillage

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Résumé

Trouver la plus précise de quatre estimations du rapport de l’aire grise à l’aire totale d’une mosaïque donnée, composées de triangles gris et blancs sur une trame quadrillée.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

Comprendre que la comparaison de « l’aire des triangles gris et de l’aire de la mosaïque » peut s’exprimer par la fraction « aire grise / aire totale » ou par le « nombre de triangles gris par rapport au nombre total de triangles » ou « nombre de carrés gris par rapport au nombre total de carrés » et que par conséquent il est nécessaire de calculer chacune de ces deux aires en choisissant une unité adéquate, les triangles grisou les carrés gris ou encore les carrés du quadrillage.

La première partie de la tâche consiste donc à compter les unités ; ce qui demande une observation précise de la mosaïque et une grande rigueur dans le comptage.

Il y a de très nombreuses procédures : du comptage un à un à des regroupements, par bordures, lignes, quarts du quadrillage, … Par exemple en carrés du quadrillage : l’aire totale est 196 (14 x 14), l’aire grise 152 carrés gris = 76 carrés du quadrillage. Qui conduit au rapport 76/196 = 19/49 (en triangles on aurait 304/784, en carrés gris 152/392)

La deuxième partie de la tâche consiste à

- transformer les expressions « moitié », « un tiers », « deux cinquièmes » et « trois huitièmes » en écritures numériques,

- trouver des écritures permettant de comparer 1/2, 1/3, 2/5, 3/8 et 19/49

- soit en fractions de dénominateur commun 5880 (dont les numérateurs sont 2940, 1960, 2352, 2205 et 2280). Le plus proche de 2280 est 2352 (2352 – 2280 = 72) mais 2205 n’est pas loin (75), c’est donc Charles (2/5) qui a meilleure approximation, à 72/5880 du rapport exact qui est 2280/5880

- soit avec des nombres décimaux ou approximations décimales :

- au centième près 0,5 ; 0,33 ; 0,4 ; 0,38 et 0,39 on ne peut pas décider si c’est 0,4 ou 0,38 le plus proche de 0,39

- au millième près il faut comparer 0,4 et 0,375 à 0,388 et constater 0,4 est le plus proche ((0,4 – 0,388 = 0,012 alors que 0,388 – 0,375 = 0,013.

- Ou à exprimer le nombre de carreaux gris parmi les 196 de la mosaïque : 1/2 × 196 = 98 ; 1/3 × 196 = 65,33 ; 2/5 × 196 = 78,4 ; 3/8 × 196 = 73,5 et en les comparant à 76 pour constater aussi que c’est le rapport 2/5 (Charles) qui donne la meilleure approximation. (En triangles : 392 – 261,33 – 313,6 – 294 comparés à 304) (En carrés : 196 – 130,67 – 156,8 – 147 par rapport à 152)

Notions mathématiques

aire, carré, triangle, pavage, fractions, rapport, estimation

Résultats

20.I.13

Points attribués sur 2237 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète : (le rapport exact 19/49 ou une fraction équivalente ; … et l’approximation de Charles, 2/5) avec le détail exhaustif des nombre comparés et de leur différence au rapport correct
• 3 points: Réponse correcte (le rapport exact 19/49 ou une fraction équivalente ; …et l’approximation de Charles, 2/5) sans donner le détail des rapports comparés
  ou rapport approché (une imprécision de 1 à 5 carrés dans les dénombrement et approximation de Charles, 2/5;) avec le détail exhaustif des rapports comparés et de leur différence au rapport correct
• 2 points: Rapport correct, sans les estimations
  ou rapport approché et estimation de Charles sans explication
• 1 point: Comptage correct des figures noires (carreaux, carrés ou triangles) sans exprimer le rapport
• 0 point: Incompréhension du problème