Banque de problèmes du RMT
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Trouver la plus précise de quatre estimations du rapport de l’aire grise à l’aire totale d’une mosaïque donnée, composées de triangles gris et blancs sur une trame quadrillée.
Analyse de la tâche a priori:
Comprendre que la comparaison de « l’aire des triangles gris et de l’aire de la mosaïque » peut s’exprimer par la fraction « aire grise / aire totale » ou par le « nombre de triangles gris par rapport au nombre total de triangles » ou « nombre de carrés gris par rapport au nombre total de carrés » et que par conséquent il est nécessaire de calculer chacune de ces deux aires en choisissant une unité adéquate, les triangles grisou les carrés gris ou encore les carrés du quadrillage.
La première partie de la tâche consiste donc à compter les unités ; ce qui demande une observation précise de la mosaïque et une grande rigueur dans le comptage.
Il y a de très nombreuses procédures : du comptage un à un à des regroupements, par bordures, lignes, quarts du quadrillage, … Par exemple en carrés du quadrillage : l’aire totale est 196 (14 x 14), l’aire grise 152 carrés gris = 76 carrés du quadrillage. Qui conduit au rapport 76/196 = 19/49 (en triangles on aurait 304/784, en carrés gris 152/392)
La deuxième partie de la tâche consiste à
- transformer les expressions « moitié », « un tiers », « deux cinquièmes » et « trois huitièmes » en écritures numériques,
- trouver des écritures permettant de comparer 1/2, 1/3, 2/5, 3/8 et 19/49
- soit en fractions de dénominateur commun 5880 (dont les numérateurs sont 2940, 1960, 2352, 2205 et 2280). Le plus proche de 2280 est 2352 (2352 – 2280 = 72) mais 2205 n’est pas loin (75), c’est donc Charles (2/5) qui a meilleure approximation, à 72/5880 du rapport exact qui est 2280/5880
- soit avec des nombres décimaux ou approximations décimales :
- au centième près 0,5 ; 0,33 ; 0,4 ; 0,38 et 0,39 on ne peut pas décider si c’est 0,4 ou 0,38 le plus proche de 0,39
- au millième près il faut comparer 0,4 et 0,375 à 0,388 et constater 0,4 est le plus proche ((0,4 – 0,388 = 0,012 alors que 0,388 – 0,375 = 0,013.
- Ou à exprimer le nombre de carreaux gris parmi les 196 de la mosaïque : 1/2 × 196 = 98 ; 1/3 × 196 = 65,33 ; 2/5 × 196 = 78,4 ; 3/8 × 196 = 73,5 et en les comparant à 76 pour constater aussi que c’est le rapport 2/5 (Charles) qui donne la meilleure approximation. (En triangles : 392 – 261,33 – 313,6 – 294 comparés à 304) (En carrés : 196 – 130,67 – 156,8 – 147 par rapport à 152)
aire, carré, triangle, pavage, fractions, rapport, estimation
Points attribués sur 2237 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 697 (61%) | 246 (22%) | 77 (7%) | 63 (6%) | 56 (5%) | 1139 | 0.71 |
| Cat 8 | 367 (51%) | 158 (22%) | 67 (9%) | 52 (7%) | 69 (10%) | 713 | 1.02 |
| Cat 9 | 80 (40%) | 44 (22%) | 23 (12%) | 26 (13%) | 27 (14%) | 200 | 1.38 |
| Cat 10 | 73 (39%) | 24 (13%) | 24 (13%) | 39 (21%) | 25 (14%) | 185 | 1.56 |
| Total | 1217 (54%) | 472 (21%) | 191 (9%) | 180 (8%) | 177 (8%) | 2237 | 0.94 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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