Banque de problèmes du RMT
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Déterminer les modifications des dimensions d’un pavage rectangulaire par des carrés lorsqu’on passe d’une disposition dans laquelle les carrés ont leurs côtés parallèles aux bords du rectangle à une disposition où ce sont les diagonales des carrés qui sont parallèles aux côtés du rectangle.
Analyse de la tâche a priori:
Tâche mathématique
Déterminer les modifications des dimensions d’un pavage rectangulaire par des carrés lorsqu’on passe d’une disposition dans laquelle les carrés ont leurs côtés parallèles aux bords du rectangle à une disposition où ce sont les diagonales des carrés qui sont parallèles aux côtés du rectangle.
Analyse de la tâche
Comprendre les contraintes du carrelage : un mur de 280 cm qui limite la longueur du rectangle mais dont il doit s’en approcher au maximum et le choix de ne découper les carreaux, qu’en deux ou quatre triangles.
La résolution exige plusieurs étapes.
- Un dessin et une étude très attentive des propriétés du pavage « oblique » par des carrés et demi-carrés avec les diagonales parallèles aux côtés du rectangle :
- Les deux carreaux de la figure 1 après découpage et déplacement forment un seul carré avec, soit un carreau à l’intérieur entouré de quatre « triangles-quarts-de-carreaux », en figure 2, ou en quatre « triangles-demi-carreaux ». en figure 3. C’est une connaissance préliminaire, élémentaire acquise par découpages, dessins, collages… qui sera indispensable pour la suite.
- Puisque l’aire d’un carreau de 20 cm de côté est 400 (en cm$^2$), l’aire du carré (figure 2) est 800 (en cm$^2$), et le côté du carré est √800 (en cm) ou √(400 × 2) ou 20 × √2 ou encore 20√2. Cette écriture est un obstacle (Il s’agit d’une connaissance un peu moins élémentaire car elle fait appel à des nombres qu’on ne peut pas écrire autrement vu que les nombres décimaux n’en donnent que des approximations ; ici ≈ 28,2)
- Le raisonnement précédent conduit au rapport entre la longueur du côté de tout carré et de sa diagonale. Rapport qui, à ce niveau, doit être connue. Le fait de devoir retrouver ce rapport en appliquant le théorème de Pythagore est un autre obstacle (une étape supplémentaire et inutile) Mais possible !, de caractère didactique, pour ce problème.
- Lorsqu’on dispose de la connaissance que la diagonale des carreaux mesure 20√2, il faut constater, par un dessin ou des déplacements effectifs de carreaux, que le pavage d’un rectangle dans la disposition « oblique » où les carreaux ont leurs diagonales parallèles aux côtés du rectangle peut s’organiser à l’intérieur d’un réseau (ou quadrillage) dont les côtés des carrés mesurent : 20√2 (en cm). Le découpage des carreaux peut se limiter à des « triangles-demi-carreaux », dans certains cas favorables, comme dans la figure 4, de 3 rangs sur 4, et exige parfois un découpage plus fin en « triangles-quart- de-carreaux », comme dans la figure 5, qui permet en particulier de former des demi-rangs : 3 rangs sur 4,5 rangs.
En se référant à ce nouveau quadrillage on retrouve les procédures habituelles de détermination des dimensions du nouveau rectangle en différentes étapes:
- Le calcul du nombre de carreaux entiers ((140/20 x 280/20 = 7 x 14 = 98)
- Dans la longueur du mur on peut placer 280 : (20√2) ≃ 9,9 rangs (en colonnes). Avec les contraintes sur le découpage des carreaux, il faut se contenter de 9,5 rangs, ce qui donne une longueur de 9,5 × (20√2) ≃ 268.8 (en cm)
- 9,5 rangs dont la largeur est celle d’un côté de carré du réseau contiennent chacune 19 carreaux, au total 95 carreaux, sur 5 rangs en lignes. (On a ainsi 3 carreaux inutiles)
- La hauteur du rectangle est celle de ces 5 rangs en ligne : 5 × (20√2) = 100√2 ≈ 141,4.
aire, rectangle, pavage, longueur, largeur, rotation, oblique, carré, diagonale, nombre irrationnel, racine carrée
Points attribués sur 373 classes de 8 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 110 (56%) | 71 (36%) | 13 (7%) | 2 (1%) | 1 (1%) | 197 | 0.54 |
| Cat 10 | 100 (57%) | 52 (30%) | 22 (13%) | 2 (1%) | 0 (0%) | 176 | 0.58 |
| Total | 210 (56%) | 123 (33%) | 35 (9%) | 4 (1%) | 1 (0%) | 373 | 0.56 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Au vu des résultats ci-dessus, il est évident que le problème ne peut pas être proposé selon les modalités de passation d'une épreuve de concours (avec dévolution entière de la tâche de résolution aux groupes d'élèves). Il exige une aide à l'appropriation de la tâche pour comprendre la "rotation" des carreaux d'une disposition "horizontale- verticale" à une disposition "oblique" et pour comprendre les contraintes liées au mur à recouvrit. (Des dessins pourraient compléter l'énoncé.)