Carreaux dans le grenier

Identification

Rallye: 31.F.09 ; catégories: 5, 6 ; domaines: GP, GM
Familles:

• AL - Traiter des alignements d'objets
• AL/PAV - Compléter un pavage
• CA - Comparer des aires
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

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Résumé

Trouver combien de carrés entiers de 20 cm de côté seront nécessaires pour recouvrir exactement un rectangle de 140 cm sur 280 cm.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Appropriation de la situation

Elle est simple: Sara aligne des carreaux carrés les uns à côté des autres et les uns en-dessous ou au-dessus des autres pour former le rectangle demandé. Il est demandé de déterminer le nombre de carreaux utilisés.

Il y a trois nombres en présence : 20, 140 et 280 qui sont des mesures en cm des « côtés » de carreaux ou du rectangle. Il s’agit pour l’élève de décider que faire de ces trois mesures (nombres associés à une unité de longueur et non plus « figure géométrique »). L’idée la plus évidente est de trouver combien de fois le côté du carreau en cm (20) est dans la largeur du rectangle (140) et dans sa longueur (280) puis de déterminer ce « combien de fois » par une division ou une addition répétée ou par un dessin pour obtenir 7 et 14.

Procédures de résolution

- Réfléchir à la signification de ces nombres 7 et 14. Dans le cas de la procédure utilisant un dessin, la vision de l’alignement des carreaux en lignes et colonnes conduit à la multiplication 7 × 14 = 98 ou à la répétions d’additions 14 + 14 + 14 + 14 + 14 + 14 + 14 = 98.

Dans le cas d’absence de signification ou de « sens », il peut arriver que les deux opérations 7 × 14 ou 7 + 14 soient choisies indifféremment, c’est pourquoi il est important que le choix de l’opération soit « décrit »).

- Diviser l’aire du rectangle (280 cm × 140 cm = 39 200 cm²) par l’aire d’un carreau (20 cm × 20 cm = 400 cm²) : 39 200 ÷ 400 = 98. Cette procédure sera peu utilisée dans ces catégories en raison de la difficulté des grands nombres et parce qu’elle fonctionne dans l’espace à deux dimensions où la notion d’aire n’est souvent pas encore assimilée.

Notions mathématiques

aire, carré, rectangle, pavage, longueur, largeur

Résultats

31.F.09

Points attribués sur 135 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (98 carreaux) avec description claire de la procédure (qui peut aussi être un dessin)
• 3 points: Réponse correcte (98 carreaux) avec description peu claire ou incomplète
• 2 points: Réponse correcte (98 carreaux) sans aucune description,
  ou réponse erronée (avec procédure correcte) due à une erreur de calcul, ou à une ligne ou une colonne manquante dans le dessin
• 1 point: Début de recherche correct avec le calcul de l’aire du rectangle ou de l’aire d’un carreau ou du nombre de carreaux sur chaque côté du rectangle (7 et 14)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Au vu des résultats ci-dessus, il est évident que le problème est "élémentaire" pour des classes finalistes