Banque de problèmes du RMT
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Il faut savoir :
- dessiner la figure en vraie grandeur ;
- que la diagonale du carré le partage en deux parties de même aire ;
- trouver un argument pour déterminer lesquels des triangles sont les plus grands.
La première tâche est le dessin du collage sur papier quadrillé. L’obstacle réside dans l’impression visuelle immédiate que les triangles sont égaux.
Si la différence entre le nombre de triangles blancs (8) et le nombre de triangles gris (9) n’a pas été perçue, la construction devrait la faire apparaître.
Au cas où l’on remarque qu’il y a 8 triangles blancs et 9 gris qui occupent deux parties égales du carré, l’argumentation est courte ; pour une même partie recouverte du grand carré avec 8 blancs ou avec 9 gris, il ne peut pas y avoir d’égalité des triangles gris et des triangles blancs. L’argumentation pourrait être complétée par des mesures, des découpages, des détermination des aires, …
Si l’on ne remarque pas la différence des nombres de triangles blancs et gris, l’argumentation doit s’appuyer sur des mesures des côtés (triangles gris en cm (4 ; 4 ; 5,7) et des blancs (4,2 ;4,2 ; 6) pour constater que les gris sont plus petits.
carré, triangle, triangle isocèle rectangle, pavage, aire, longueur, mesure de longueur, déduction, équivalence, décomposition, similitude, rapport
Sur les copies rendues par les 9 classes de la finale internationale de 2024,
3 classes ont dessiné une figure précise et affirmé que « les triangles gris et les blancs ne sont pas de même grandeur » avec une des argumentations ci-dessus;
3 classes ont dessiné une figure avec précision suffisante et répondu que « les triangles gris et les blancs ne sont pas de même grandeur, sans argumentation ou « les triangles gris et les blancs ne sont pas de même grandeur sans figure pré 2 classes ont dessiné une figure avec précision suffisante et ont répondu que « les triangles gris et les blancs sont de même grandeur »
1 classe n'a pas compris le problème
La réponse « non, les triangles ne sont pas de la même longueur » apparaît dans 5 copies :
- No perché i triangoli di Giulia sono uno in più, quindi abbiamo fatto altri calcoli per arrivare al risutato. (sur le dessin en vraie grandeur, les côtés de l’angle droit sont calculés pour les triangles gris (12 : 3 = 4 en cm) et mesurés pour les triangles blancs (8,4 : 2 = 4,2 cm). La différence du nombre de triangles n’est pas suffisante pour ces élèves qui ont besoin d’une confirmation.
- Non parce qu’il y en plus du côté gris que du côté blanc. La différence du nombre de triangles suffit pour ce groupe.
- I triangoli più grandi sono i bianchi. Mesure précise au mm de tous les côtés de chaque type de triangle pour arriver à des périmètres de 13,5 et 14,6 cm.
- I triangoli non sono uguali. Par des considérations sur les prolongements de segments des deux parties, assez difficiles à comprendre mais correctes.
- Les 8 triangles blancs et les 9 triangles gris sont notés par des lettres B et G sur le dessin. Abbiamo capito che i triangoli grigi sono più grandi dei bianchi perché abbiamo calcolato la grandezza dei triangolo, perché gli abbiamo disegnati. Dans ce cas comme 9 est plus grand que 8, les gris sont les plus grands !!
Deux copies semblent confondre les parties grises et blanches du carré (qui sont aussi des triangles) et « les » triangles blancs et « les » triangles gris de l’énoncé, pour conclure à l’égalité des parties triangulaires, par superposition. Une autre montre que la superposition d'un petit triangle blanc et d'un petit gris, après découpage a conclu à l'égalité.
Si la question avait porté dur la comparaison des « petits » triangles gris et blancs elle aurait peut-être réduit la fréquence de cette lecture erronée.
On peut être certains qu’une mise en commun des résultats des différents groupes ouvrira le débat entre le oui et le non :
- prendre conscience qu’il y a 17 triangles (8 et 9)
- faire apparaître une argumentation : à partir de l’égalité des aires des deux demi-carrés, déduire que, non seulement les triangles ne peuvent avoir la même grandeur si 8 blancs occupent la même surface que 9 gris mais aussi que les blancs sont donc plus grands que les gris.
(Pour en savoir plus sur l'exploitation du problème en classe, voir article de Brunella Brogi, en bibliographie.)
Demander de trouver à l’aire du carré 144 (cm2) celle des demi-carrés (72 cm2) et à l’aire des triangles blancs, 72 : 8 = 9 (cm2) et celle des triangles 72 : 9 = 8 (cm2)
Demander quels sont les côtés des triangles dont la longueur est un nombres entier de cm , puis en mesurant les autres côtés calculer les périmètres, qui sont environ 13,5 et 14,5 cm.
Jaquet F. (2024) Analyses de la finale internationale de 2024. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 15. pp.77-128
Brogi B. Triangolini in un quadrato. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 15. pp.77-128 Annexe de l'article précédent