Un beau collage

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Rallye: 31.F.14 ; catégories: 7, 8 ; domaine: GP
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• AL - Traiter des alignements d'objets

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Résumé

Dénombrer les hexagones, carrés et triangles équilatéraux dans une partie rectangulaire d'un pavage où chaque hexagone est entouré de six carrés et six triangles puis trouver le nombre de carrés et de triangles d'un pavage plus grand, de forme rectangulaire, qui utilise 216 hexagones.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Dans la phase d’appropriation du problème, analyser le modèle pour remarquer que :

- les polygones sont collés de façon régulière, sans se chevaucher, ni laisser de trou pour constituer un même motif plusieurs fois répété,, - les bords du rectangle sont constitués par des moitiés de polygones (carrés, triangles et hexagones) et à chacun des 4 sommets, Sylvia a collé un quart d’hexagone,

- chaque côté d'un polygone est en contact avec un seul côté d'un autre polygone,

- un certain nombre de carrés et de triangles équilatéraux appartiennent à plusieurs motifs ayant un hexagone au centre.

Procéder au comptage de chaque type de polygones à partir de la figure donnée et en s’appuyant sur la figure donnée par l’énoncé dont les côtés sont des axes de symétrie, ce comptage peut être fait en tenant compte : demi-autocollants carrés.

Il y a de très nombreuses procédures ce comptage des différentes pièces qui aboutissent à 24 hexagones (18 entiers et 12 moitiés) ; 72 carrés (65 entiers et 14 moitiés) ; 48 triangles (42 entiers et 12 moitiés)

Enfin, comprendre que les nombres d'hexagones, de carrés et de triangles dans les deux collages sont proportionnels et qu’il faut donc trouver le rapport entre le nombre d'hexagones dont Brunella a besoin (216) et le nombre d'hexagones dans la figure donnée, soit 216 : 24 = 9, multiplier ce rapport par le nombre de carrés puis par le nombre de triangles : 72 × 9 = 648 et 48 × 9 = 432.

Notions mathématiques

pavage, carré, triangle équilatéral, hexagone, proportionnalité

Résultats

31.F.14

Points attribués, sur 147 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les deux réponses correctes (648 carrés et 432 triangles) avec une description claire de la démarche et le détail des calculs
• 3 points: Les deux réponses correctes avec une description peu claire ou incomplète de la procédure mais avec le détail des calculs ou une description claire de la procédure sans le détail des calculs
• 2 points: Les deux réponses correctes sans description de la procédure et sans détail des calculs,
  ou une réponse incorrecte due à une erreur de comptage ou de calcul (avec une description claire de la procédure)
• 1 point: Une réponse correcte sans explication,
  ou un début de raisonnement correct (par exemple, comptage correct des autocollants dans le collage de Silvia ou dans l'un des motifs)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les résultats ci-dessus montrent qu'une majorité des groupes - de finalistes - sont arrivés à une réponse correcte.

Exploitations didactiques

Les différentes manières de compter les figures peuvent être mises en commun pour trouver celles qui sont les plus simples et les plus efficaces.

La proportionnalité est bien présente entre les nombres d'hexagones, carrés et triangles qui permettent de recouvrir le rectangle de l'énoncé, le rectangle des 216 pièces de la boîte de Brunella et d'autres rectangles aussi (qui tous exige des découpages de pièces).

Le dessin du motif de l'hexagone et de sa couronne est d'une grande simplicité, il suffit de tracer des cercles de même rayon et le côté non gradué d'une règle. Less élèves n'ont peut-être jamais construit de rosaces, ni constaté les relations entre l'hexagone et sa décomposition en triangles équilatéraux:

Pour aller plus loin

Ce "beau collage" est un des huit pavages périodique semi-réguliers, appelé rhombitrihexagonal ou pavage de Diane Il se retrouve dans de nombreuses oeuvres artistiques anciennes ou récentes (en particulier dans le temple romain de Diane à Nîmes).

Chacune des trois pièces, qui le composent, sont les pavés des trois pavages périodiques réguliers: triangulaire, carré et hexagonal. Outre son intérêt artistique, il offre de nombreuses idées d'activités géométriques.

Le motif de l'hexagone entouré de sa "couronne" de 6 carrés et 6 triangles n'est pas celui qui permet de "paver le plan" car il y a des parties qui se recouvriraient. Une première recherche est de trouver le nombre de triangles et de carrés qu'il faut associer à un hexagone pour former une figure qui permet de "paver le plan" comme dans la figure de l'énoncé; une deuxième recherche est de trouver les figures (pavés) composées des carrés et triangles associés à l'hexagone. Le concours est ouvert.

Le problème Deux fourmis en promenade (31.I.17) offre une activité de calcul de distances sur le pavage de Diane.