Un bel collage

Identificazione

Rally: 31.F.14 ; categorie: 7, 8 ; ambito: GP
Famiglia:

• AL - Gestire allineamenti di oggetti

Envoyer une remarque ou une suggestion

Sunto

Contare gli esagoni, i quadrati e i triangoli equilateri in una parte rettangolare di una piastrellatura in cui ogni esagono è circondato da sei quadrati e sei triangoli, quindi trovare il numero di quadrati e triangoli in una piastrellatura rettangolare più grande che utilizza 216 esagoni.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Nell’appropriazione del problema, analizzare il collage dato per osservare che:

- gli adesivi (poligoni) sono incollati in maniera regolare, senza sovrapporsi e senza lasciare buchi al fine di formare il motivo che si ripete più volte;

- i bordi del rettangolo sono costituiti da metà di poligoni (quadrati, triangoli ed esagoni) e che su ciascun vertice Silvia ha incollato un quarto di esagono;

- ogni lato di un poligono è a contatto con un solo lato di un altro poligono;

- un certo numero di quadrati e di triangoli equilateri appartengono a più di un motivo avente un esagono al centro.

Procedere con il conteggio di ciascun tipo di poligono a partire dalla figura data e tale conteggio può essere fatto tenendo conto che ci sono metà adesivi quadrati, come da enunciato e metà adesivi triangolari ed esagonali in virtù della figura dove i bordi sono assi di simmetria, a parte le figure nei quattro angoli che costituiscono insieme 1 esagono. Il conteggio porta a 24 esagoni (18 interi e 12 metà); 72 quadrati (65 interi e 14 metà); 48 triangoli (42 interi + 12 metà) (possiamo anche immaginare che gli allievi cerchino di costruire il rettangolo di Brunella assemblando 9 rettangoli come quello di Silvia).

Infine capire che il numero di esagoni, quadrati e triangoli dei due collage sono in proporzione ed è dunque necessario trovare il rapporto tra il numero di esagoni che servono a Brunella (216) e il numero di esagoni della figura data, cioè 216 : 24 = 9; moltiplicare questo rapporto per il numero di quadrati e poi per il numero di triangoli: 72 × 9 = 648 e 48 × 9 = 432.

Nozioni matematiche

piastrellatura, quadrato, triangolo equilatero, esagono, proporzionalità

Risultati

31.F.14

Punteggi attribuiti, su 147 classes di 20 sections:

Secondo i criteeri dell'analisi a priori :

• 4 punti: Le due risposte corrette (648 quadrati e 432 triangoli) con descrizione della procedura seguita e i dettagli dei calcoli
• 3 punti: Le due risposte corrette con descrizione poco chiara o incompleta della procedura, ma con i dettagli dei calcoli o descrizione della procedura chiara senza i dettagli dei calcoli
• 2 punti: Le due risposte corrette, senza descrizione della procedura e senza i dettagli dei calcoli
  oppure una risposta errata per conteggio errato o errore di calcolo (con descrizione chiara della procedura)
• 1 punto: Una risposta corretta senza spiegazioni
  oppure inizio corretto di ragionamento (per esempio conteggio corretto degli adesivi del collage di Silvia o di uno dei motivi)
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Les résultats ci-dessus montrent qu'une majorité des groupes - de finalistes - sont arrivés à une réponse correcte.

Indicazioni didattiche

I diversi metodi di conteggio delle figure possono essere combinati per trovare quelli più semplici ed efficienti.

La proporzionalità è chiaramente presente tra il numero di esagoni, quadrati e triangoli che ci permettono di ricoprire il rettangolo dell'enunciato, il rettangolo dei 216 pezzi della scatola di Brunella e anche altri rettangoli (che richiedono tutti pezzi da tagliare).

Per andare più lontano

Questo "bellissimo collage" è una delle otto tassellazioni periodiche semiregolari, chiamate rombitriesagonali o tassellazioni di Diana. Si può trovare in molte opere artistiche antiche o recenti (in particolare nel tempio romano di Diana a Nîmes).

Ciascuno dei tre pezzi che lo compongono rappresenta le tessere delle tre tassellature periodiche regolari: triangolare, quadrata ed esagonale. Oltre al suo fascino artistico, offre numerosi spunti per attività geometriche.

Lo schema esagonale circondato dal suo "anello" di 6 quadrati e 6 triangoli non è quello che ci permette di "tappezzare il piano" perché alcune parti si sovrapporrebbero. Il primo passo è trovare il numero di triangoli e quadrati che devono essere combinati con un esagono per formare una figura che ci permetta di "tappezzare il piano" come nella figura fornita nell'enunciato del problema; il secondo passo è trovare le figure (tappezzerie) composte dai quadrati e dai triangoli combinati con l'esagono. Il concorso è ora aperto.

Il problema Due formiche a passeggio (31.I.17) propone un'attività di calcolo delle distanze sulla piastrellatura Diana.