Avec 4 triangles

Identification

Rallye: 31.II.07 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaines: GP, GM
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Envoyer une remarque ou une suggestion

Résumé

Construire un polygone de périmètre maximum en assemblant quatre triangles dont les dimensions se déduisent d’une figure où ils constituent un carré de 10 cm de côté.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

Appropriation : observer les figures et se rendre compte que les deux triangles gris sont rectangles, les deux triangles blancs sont isocèles, le plus petit est isocèle et rectangle. Il y a quatre longueurs de côtés : les petits côtés des trois triangles rectangles, les seconds côtés de l’angle droit des triangles gris (le double des petits), les hypoténuses des triangles gris et les deux côtés isométriques du grand triangle blanc, les deux « bases » des triangles isocèles (blancs). (Au cas où l’on veuille calculer la mesure des périmètres, les quatre mesures de ces côtés sont 5 cm, 10 cm, environ 7 cm et environ 11 cm).

Procédures rencontrées dans ce type de « puzzles »:

A. Par construction de la figure « carré » de 10 cm de côté puis découpage des quatre pièces et recherche d’assemblages jusqu’à estimer quelle est la figure de plus long périmètre. On peut obtenir 8 périmètres possibles différents : entre 64 et 65 cm pour le plus long, puis entre 56 et 57 pour le suivant, puis entre 54 et 55, 52 et 53, 46 et 47, proche de 44, proche de 42 et finalement 40 cm pour le plus court, celui du carré.

B. Par dessin des figures (par exemple sur papier quadrillé) pour donner un exemple de figure pour chaque périmètre différent.

C. Par recherche d’assemblages dont les côtés les plus courts des triangles sont « à l’intérieur » de la figure et les côtés les plus longs sur le pourtour.

« L’explication » du périmètre maximum est liée à la procédure C mais peut aussi dériver des procédures A et B par les nombreux essais qui aboutissent progressivement à l’énumération des différents périmètres possibles.

- Les trois figures de périmètre maximum (entre 64 et 65 cm) sont celles de la figure 5.

- Un exemple de figure de périmètre entre 56 et 57 cm (le deuxième en ordre de grandeur) est celui de la Figure 6.

- Un exemple de figure de périmètre entre 54 et 55 cm (le troisième en ordre de grandeur) est celui de la Figure 7.

Notions mathématiques

polygone, triangle, triangle rectangle, composition, périmètre, longueur, côté, addition, maximum

Résultats

31.II.07

Points attribués sur la base de 3321 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Dessin d’une des trois combinaisons possibles de périmètre maximum (Fig.5), avec calcul du périmètre (de 64 à 65 cm) ou avec une explication raisonnée (par exemple les plus longs côtés à « l’extérieur », le plus courts à « l’intérieur »)
• 3 points: Dessin d’une des trois combinaisons possibles de périmètre maximum (Fig.5), avec calcul du périmètre (de 64 à 65 cm), sans explication raisonnée du maximum
  ou dessin d’une des combinaisons possibles du deuxième périmètre (de 56 à 57 cm par exemple Fig 6), avec explications
• 2 points: Dessin d’une des combinaisons possibles du troisième périmètre (de 54 à 55 cm) par exemple Fig 7 ) avec ou sans explications
• 1 point: Dessin d’une des combinaisons possibles de périmètre inférieur
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Ce sont les analyses des copies avec "0 point" (près de la moitié) qui vont permettre de comprendre où se situent les obstacles de ce problème: lecture de l'énoncé et compréhension de la règle de juxtaposition des triangles ? difficulté à exprimer les mesures des côtés irrationnelles par des approximations (5√2 par 7,1; 5√5 pat 8,7)? ...

Bibliographie

Bisso C. Grugnetti L. Gruppo geometrie piana (2024). Geometria piana nell'ARMT / La géometrie plane dans l’ARMT. In Gazzzetta del Transalpino/ Gazette de Transalpie no 15 pp 141 - 155