Le carré de Paul

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Rallye: 31.F.18 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

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Résumé

À partir d’un carré de côté donné, divisé par deux segments perpendiculaires en quatre triangles, calculer l’aire de chacun des triangles; les deux segments ont une extrémité sur deux sommets voisins et l'autre au quart d'un côté opposé.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Appropriation Observer la figure de l'énoncé, constater que de nombreux segments ont des longueurs de 5, 15 et 20 cm sur ls côtés du carré, que les trois triangles rectangles (le petit en haut, le moyen à gauche et le grand composé des deux autres) sont semblables et que leurs hypoténuses respectives mesurent 15, 20 et 25 cm (Pythagore: côtés de l'angle droit 15 et 20).

Savoirs Relation de Pythagore, conservation des mesures des angles par une rotation de 90 degrés, proportionnalité entre mesures des côtés de triangles semblables.

Résolution Pour ceux qui maîtrisent la proportionnalité entre les côtés respectifs des trois triangles de la partie supérieure gauche de la figure, et ont calculé la mesure de l'hypoténuse du grand, il suffit de compléter les trois triplets, en cm: 15 ; 20; 25 pour le grand, ... ; ... ; 20 pour le moyen; ... ; ... ; 15 pour le petit à l'aide des rapports 25/20 = 5/4 (grand / moyen), 25/15 = 5/3 (grand / petit). Les mesures des côtés (en cm) du moyen sont 12; 16 et 20 pour le moyen, 9, 12 et 15 pour le petit.

Les aires sont, en cm$^2$, (9 x 12)/2 = 54 pour le petit triangle (du haut), (12 x 16)/2 = 96 pour le triangle moyen (à gauche), 150 - 54 = 96 pour le quadrilatère de droite et 400 - 96 - 96 - 54 = 154 pour le quadrilatère du bas.

Ancienne analyse a priori, avec notations "traditionnelles", la question étant de savoir si ces notations ne sont pas un "obstacle" ?

//- Appliquer l’égalité des rapports de similitude : AO/AD = AD/AE = 20/25 = 4/5 et DO/DA = DE/AE = 15/25 = 3/5. - D’où les mesures des côtés (en cm) : AO = 20x4/5 = 16 et DO = 20x3/5 = 12. De plus, OE = 25 – 16 = 9. Ou bien, - Calculer les longueurs AO, DO, OE avec le théorème de Pythagore et/ou d’Euclide, par exemple : - Calculer la longueur de la hauteur du triangle DAE relative à la base AE : DO = (20 × 15)/25 = 12 (en cm). - Appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la longueur du côté OE : OE = √(15^2-12^2 ) = √81 = 9 (en cm) et du côté AO : AO = √(20^2-12^2 ) = √256 = 16 (en cm). - En déduire les aires demandées (en cm2) : aire (DAO) = 16 x 12/2 = 96 ; aire (DOE) = 12 x (25 – 16) / 2 = 54 ; aire (EOFC) = aire (DCF) – aire (DOE) = 20 x 15/2 – 54 = 96 et aire (AOFB) = aire (ABCD) – aire (DAO) – aire (DOE) – aire (EOFC) = 400 – 96 – 54 – 96 = 154. //

le carré de Joseph (19.F.16)

Notions mathématiques

triangle, polygone, isométrie, similitude, Pythagore, déduction, proportionnalité

Résultats

31.F.18

Points attribués sur 55 classes de 8 sectios:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (54 cm2, 96 cm2, 96 cm2, 154 cm2) avec la description de la procédure suivie
• 3 points: Réponses correctes avec des explications peu claires
• 2 points: Réponses correctes sans explications
• 1 point: Début de raisonnement cohérent
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

L'analyse a posteriori repose sur quelques copies d'élèves pour un épreuve de Finale. Ceux qui en disposent sont priés de les communiquer à l'adresse mentionnée sur la fiche.

Exploitations didactiques

La situation est intéressante car elle présente trois triangles rectangles semblables (en haut à gauche) bien connus dont les mesures des côtés sont proportionnelles à 3 ; 4, et 5. Par découpages et déplacements, il est possible de les disposer l'un sur l'autre avec un sommet commun et les côtés correspondants parallèmes, images l'un de l'autre par des homothéties visuellement plus faciles à observer que les similitudes.