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Banca di problemi del RMT

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Il tavolo da giardino

Identificazione

Rally: 15.I.12 ; categorie: 6, 7 ; ambito: GP
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Trovare le dimensioni di un rettangolo costituito da sette rettangoli congruenti, di 3 m di perimetro, cinque disposti uno vicino all'altro e gli altri due disposti perpendicolarmente agli altri alle loro estremità.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Capire dalla disposizione delle assi all’interno del piano del tavolo che la lunghezza di un’asse è 5 volte la sua larghezza e che quindi il suo perimetro è 12 volte tale larghezza (2x5+2x1). Ne segue che la larghezza di un’asse è 25 cm (300:12).

- Di conseguenza, essendo la larghezza e la lunghezza del piano del tavolo, rispettivamente, 5 e 7 volte la larghezza di un’asse, le dimensioni del tavolo sono 125 cm (25x5) e 175 cm (25x7).

Oppure: si può notare sul disegno che il perimetro del piano del tavolo può esprimersi per mezzo dei lati di un’asse poiché è formato da 4 larghezze e 4 lunghezze. Ne segue che il perimetro del piano del tavolo è 2 volte quello di un’asse, cioè 600 cm (300x2). Notare poi che la lunghezza di un’asse è 5 volte la sua larghezza e che quindi il perimetro del piano del tavolo corrisponde a 24 volte la larghezza di un’asse; dedurne che (600:24) x 5 = 125 cm è la larghezza del tavolo, mentre la lunghezza è (600:24)x7 = 175 cm.

Nozioni matematiche

perimetro, rettangolo, decomposizione del rettangolo, le 4 operazioni

Risultati

15.I.12

Punteggi attribuiti su 757 classi di 10 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 6231 (55%)29 (7%)59 (14%)45 (11%)57 (14%)4211.21
Cat 7117 (35%)27 (8%)32 (10%)48 (14%)112 (33%)3362.03
Totale348 (46%)56 (7%)91 (12%)93 (12%)169 (22%)7571.58
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

La media passa da 1,2 nella categoria 6 (11 -12 anni) a 2,0 nella categoria 7, cosa che evidenzia la difficoltà del compito per gli allievi più giovani e “mediamente facile” per quelli un pochino più vecchi. Il tasso di insuccesso completo, “incomprensione del problema” passa dal 55% nella categoria 6 al 35% nella categoria 7.

A questo proposito possiamo segnalare l’omogeneità dei risultati ottenuti nel caso di un problema “isomorfo” La scatola, a quattro anni di intervallo. Le medie erano di 1,3 punti (contro 1,2) nella categoria 6 e di 2,3 punti (contro 2,0) nella categoria 7, quattro anni prima, ma 5 mesi dopo nel corso dell’anno scolastico, svolto da allievi che hanno partecipato alle finali regionali.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

In effetti c’è una sola procedura che conduce alla risposta, in quattro fasi il cui ordine è imposto dalla logica interna del problema:

1. Osservare che la larghezza del tavolo, alla base, è costituita da cinque segmenti congruenti che si ripetono 7 volte nella lunghezza. Questa fase implica la percezione delle cinque “larghezze” in una “lunghezza”, che si conserva quando i rettangoli subiscono una rotazione di 90 gradi, si tratta quindi della gestione dell’isometria, della ricerca di un’unità di lunghezza e il saper esprimere un’latra dimensione con tale unità.

2. Comprendere di conseguenza che il semi perimetro di un rettangolo piccolo è costituito da 6 unità di lunghezza (o di perimetro 12). Bisogna fare appello qui all’addizione delle misure.

3. Convertire i 3 m del perimetro di un rettangolo in 300 cm, poi le unità di lunghezza precedenti, in cm, cosa che fa intervenire la proporzionalità con, spesso, il passaggio all’unità (300 : 2) : 6 = 25. La lunghezza di un rettangolo piccolo corrisponderà a 5 x 25 = 125, che è anche la larghezza del tavolo e la lunghezza sarà 7 x 25 = 175.

4. Calcolare l’area: 768 (24 x 32) cm2.

Non si può parlare veramente di “errori” per il 46% dei gruppi (la metà circa) che hanno ottenuto “0 punti” (incomprensione del problema). Ci sono degli ostacoli di ordine ontogenetico che impediscono ad allievi di 10/12 anni di “entrare” nel problema in quanto non hanno ancora costruito il concetto di unità di lunghezza, oppure perché non sanno utilizzarlo quando i segmenti misurati non sono paralleli, o ancora perché è prematuro gestire una situazione di proporzionalità come quella della conversione di unità.

Indicazioni didattiche

Nelle condizioni di una prova del RMT, la risoluzione del problema “Il tavolo da giardino” è fuori dalla portata di una metà degli allievi di 11/12 anni. Nella pratica abituale della classe le condizioni cambiano perché l’insegnante è presente; può organizzare delle messe in comune, delle validazioni intermedie. Può anche “far risolvere correttamente” il problema prendendo su di sé il carico dei momenti chiave della risoluzione, ma in questo caso non si raggiungerebbe l’obiettivo dell’attività.

Bisogna aspettare il livello della categoria 7 (12-13 anni)per aspettarsi che gli allievi possano affrontare gli ostacoli della situazione per tentare di superarli, per aggirarli e progredire così nei loro apprendimenti sulla misura, la conservazione delle lunghezze nelle isometrie, la proporzionalità. La situazione è ricca e richiederà di essere utilizzata, dopo la risoluzione, in fase di validazione delle soluzioni e poi istituzionalizzata Potranno essere poi proposte delle varianti, scelte fra altri problemi della sotto famiglia, per rinforzare o verificare i nuovi saperi acquisiti.

Per andare più lontano

Nella famiglia QUA (Lavorare su una quadrettatura) si trova la gran parte di problemi sui quadrati e i rettangoli e qualcuno su rombi o parallelogrammi, con un interesse focalizzato sulle loro proprietà: parallelismo, angolo retto, scomposizione, spostamenti. Vi si trovano talvolta calcoli di aree o di perimetro, ma senza dar loro la priorità. La famiglia LA (Utilizzare misure di lunghezze e aree famiglia area e perimetro) raggruppa i problemi dove i due concetti si incontrano, si affrontano o si coordinano.

Il tavolo da giardino, La scatola, Il pavimento di Fabio sono tre variante dello stesso problema.

Si veda anche I cinque quadrati, I quadrati di d’Alex et Francesco

Bibliografia

Points de départ : La Boîte, in Grand N No 85, 2010 pp. 7, suivi de « premières réflexions » (F. Jaquet) pp. 9-11.

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