I quattro picchetti

Identificazione

Rally: 21.II.18 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• ANG - Utilizzare angoli e/o misure di angoli
• DEM - Fare una dimostrazione
• GEN - Trovare e testare soluzioni (parziali) possibili
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/PY - Utilizzare una relazione classica

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Sunto

Decidere e giustificare l’allineamento di tre punti in una situazione dove sono dati un triangolo equilatero di lato 41 m e un punto situato a 41 m e a 71 m da due dei suoi vertici, che appare, per costruzione con gli strumenti di disegno geometrico, come il prolungamento di uno dei suoi lati.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

• Il compito iniziale consiste nel fare un disegno per capire come sono situati i picchetti di Antonio (A), di Clara (C) e di Daniela (D): riconoscere il triangolo equilatero ABC, scegliere una delle due possibilità per il punto D che corrisponde all’osservazione di Daniela (nell’allineamento presunto di A e C).
• Osservare che uno schizzo non è sufficiente per decidere e cercare eventualmente di rispondere alla questione con una costruzione geometrica accurata con la riga ed il compasso e in scala. Constatare quindi che i tre punti A, C, D sembrano allineati e che non si può concludere rigorosamente tramite una costruzione con gli strumenti del disegno geometrico a causa dei limiti della loro precisione, come viene suggerito dai commenti dei quattro amici.
• Per la seconda parte del compito, passare allora ad un’analisi della figura formata dai quattro punti e dalle sue proprietà: immaginare o disegnare i segmenti, osservare che il triangolo ABC è equilatero di lato 41 m, il triangolo BCD è isoscele di lati 41 m, 41 m e 71 m.
• Considerare l’uno o l’altro dei due casi: A, C, D sono allineati (fig. I) o A, C, D non sono allineati (fig. II)


• Se si suppone che A, C, D siano allineati, AD è allora un segmento di lunghezza 82. Il triangolo ABD di lati 41, 82 e 71 è rettangolo perché i tre angoli del triangolo equilatero ABC misurano 60 gradi, l’angolo in C del triangolo isoscele BCD misura 120 (180 – 60) gradi e i due angoli uguali misurano ciascuno 30 gradi, l’angolo in B di ABD misura allora 90 (60 + 30) gradi.

(Ci sono peraltro altri modi di mostrare che questo triangolo è rettangolo: è inscritto in un semicerchio di raggio 41 o è scomponibile in quattro triangoli rettangoli, …)

Ma in questa ipotesi, il teorema di Pitagora non è verificato: 412 + 712 = 6722 ≠ 6724 ≠ 822. L’ipotesi che A, C, D siano allineati va pertanto rifiutata. Osserviamo che l’ipotenusa AD misurerebbe 81,9878… m, quindi nella scala 1/100 del disegno geometrico la differenza da individuare è di 1/10 di mm, invisibile ad occhio nudo.

Oppure, nel secondo caso, si mostra che A, C, D non sono allineati (fig. II): i due triangoli ACE e CDF non sono uguali perché i loro altri due lati sono rispettivamente differenti:

Dal momento che i due triangoli non sono uguali, benché siano entrambi rettangoli e con uguale ipotenusa (41), i loro angoli acuti sono rispettivamente diversi. Così l’angolo in C del triangolo CDF è diverso dall’angolo in A di ACE (60°), quindi l’angolo in C del triangolo isoscele BCD è diverso da 120° e sommato all’angolo in C di ABC (60°) dà un angolo diverso da 180°; segue che A, C, D non sono allineati

Nozioni matematiche

geometria, triangolo rettangolo, triangolo isoscele, triangolo equilatere, somma dei angoli, Pitagora, lato, cerchio iscritto, disuguaglianza di triangoli, radice quadrate, approssimazione

Risultati

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (no, non sono allineati) con una giustificazione “teorica” geometricamente corretta (non si penalizzano gli errori di scrittura, di unità, ...)
• 3 punti: Risposta corretta con giustificazione poco rigorosa o con un anello mancante (per esempio nel primo caso non si dimostra che il triangolo ABD considerato è rettangolo, ma solamente che non verifica il teorema di Pitagora)
• 2 punti: Risposta corretta con spiegazione a partire da proprietà della figura, ma inadeguata o insufficiente (per esempio solo il riconoscimento del triangolo equilatero e del triangolo isoscele)
  oppure risposta basata su una costruzione molto precisa con gli strumenti del disegno geometrico e coerente (si accettano “sì” o “no” purché il disegno sia preciso e la scala sia indicata) (con le misure dell’enunciato, il disegno, pur preciso, non consente di essere certi della risposta)
• 1 ponto: Risposta (corretta o no) basata solo su una costruzione geometrica approssimativa
• 0 punto: Risposta (corretta o no) senza spiegazione
  oppure incomprensione del problema