La grande voile

Identification

Rallye: 31.F.20 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Envoyer une remarque ou une suggestion

Résumé

Déterminer si un triangle, formé de deux triangles isocèles ayant un sommet commun et un côté dans le prolongement l’un de l’autre peut lui-même être isocèle et si oui, déterminer les mesures des angles.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre la situation :

- Un triangle RVA est divisé en deux triangles isocèles dont la base (le côté non égal aux deux autres) de l’un coïncide avec l’un des deux côtés égaux de l’autre.

- On veut faire en sorte que le triangle RVA soit également isocèle.

- Les mesures des côtés n’étant pas connues, il faut travailler sur les mesures des angles des triangles.

- Sachant que la somme des angles d’un triangle vaut 180°, en désignant par exemple par α l’un des angles de base du triangle RBV, obtenir les valeurs des autres angles de la figure en fonction de α : l’angle au sommet du triangle BRV mesure 180° – 2α ; l’angle au sommet du triangle ABV mesure 180° – α et, par conséquent, la somme des deux angles égaux du triangle BVA est égale à α, donc chacun d’eux mesure α/2.

- Si l'on veut suivre la demande de Justine, c’est-à-dire que le triangle RVA soit isocèle en V, les angles VRA et VAR doivent être égaux. On en déduit alors l’équation 180° – 2α = α/2 qui a pour solution α = 72°.

- Pour faire en sorte que la grande voile soit isocèle en A, comme le propose Amir, les angles ARV et AVR doivent être égaux, donc α doit vérifier l’équation 180° – 2α = α + α/2 = 3α/2, d’où α = 360 / 7 (environ 51,5°).

- Il est évident cependant que la voile ne peut pas être isocèle en R puisque 3α/2 ≠ α/2 quelle que soit la valeur de α ≠ 0.

- Conclure que la grande voile peut être un triangle isocèle en V, l’angle en V mesurant 3α/2 = 108° et des angles à la base mesurant 36°, ou isocèle en A, l’angle en A mesurant α/2 = 180° / 7 (environ 25,7°) et les angles à la base mesurant 540° / 7 (environ 77,1°).

Notions mathématiques

triangle, angle isocèle, équilatéral, isométrie, similitude, déduction, proportionnalité

Résultats

31.F.20

Points attribués sur 54 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (seuls deux projets peuvent être réalisés : triangle isocèle en V avec des angles qui mesurent 108° et 36° à la base et triangle isocèle en A avec des angles qui mesurent 180° / 7 et 540° / 7 , ou des valeurs approchées, à la base) avec une explication complète de la procédure qui mène à la réponse et la justification qu’il n’est pas possible d’avoir un triangle isocèle en R et le calcul des angles
• 3 points: Réponse correcte avec explication incomplète ou peu claire ou non justification qu’il n’est pas possible d’avoir un triangle isocèle en R, mais calcul correct des mesures des angles
• 2 points: Réponse correcte à la première question avec des explications claires, mais les mesures d’angles sont incorrectes en raison d’erreurs de calcul,
  ou un seul triangle isocèle identifié sans rien dire des autres possibilités avec calculs corrects des angles le concernant,
  ou réponse correcte à la première question, mais sans le calcul de la mesure des angles
• 1 point: Début de recherche cohérente
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les résultats ci-dessus montrent que le problème est peu adapté à des groupes d'élèves finalistes de catégories 9 et 10.