Il rettangolo da disegnare

Identificazione

Rally: 19.II.19 ; categorie: 9, 10 ; ambito: GP
Famiglia:

• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree

Remarque et suggestion

Sunto

Verificare se un rettangolo con i lati di 12 cm e 2 cm, ed un altro con i lati di 13 cm e 2 cm, possono essere inscritti in un quadrato con il lato di 10 cm.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Scartare le risposte impulsive come «sì, perché l’area del rettangolo è più piccola di quella del quadrato» o «no, perché la lunghezza del rettangolo è maggiore del lato del quadrato» e rendersi conto che non si può disporre i lati del rettangolo parallelamente a quelli del quadrato.

- Osservare che un rettangolo con la lunghezza più grande possibile deve essere disposto con i suoi quattro vertici sui lati del quadrato e con i suoi assi sulle diagonali del quadrato.

- Effettuare i calcoli per verificare se un rettangolo 2 x 12 può essere completamente all’interno di un quadrato 10 x 10. Ci sono diversi metodi.

• Per esempio considerare il più piccolo quadrato in cui si possa inscrivere il rettangolo con gli assi di simmetria sulle sue diagonali (disegno 1).
• Utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare 2a² = 144 → a = √72 e 2b² = 4 → b = √2
• e dedurne la somma a + b ≈ 9,9 e ciò significa che il rettangolo 2 x 12 è inscritto in un quadrato di circa 9,9 cm di lato. Concludere che il disegno è possibile.
• Al contrario con un rettangolo 2 x 13: a = √(169/2) = 13/√2 e b = √2, da cui a + b > 10,6 e quindi il disegno è impossibile.

Oppure:

- Osservare che l’intersezione della larghezza del rettangolo con due lati adiacenti del quadrato, forma un triangolo rettangolo isoscele con le misure indicate nel disegno 2.

- Dedurre che la diagonale di questo quadrato minimale ha per lunghezza 1 + 12 + 1 = 14 cm per il rettangolo 2 x 12 e 15 cm per il rettangolo 2 x 13.

- Confrontare con la diagonale del quadrato 10 x 10 la cui lunghezza è 102  14,14 cm.

- Concludere che il disegno è possibile nel primo caso e impossibile nel secondo.

Oppure: calcolare la lunghezza della diagonale del quadrato 10 x 10 con il teorema di Pitagora: 14,14 cm (circa) e poi togliere i 2 segmenti di diagonale alle estremità, di lunghezza 1 cm per ciascuno come indicato sopra, restano quindi 12,14 cm cosa che permette di sistemare il rettangolo 12 x 2, ma non il rettangolo 13 x 2.

Nozioni matematiche

area, teorema di Pitagora, diagonale, lato, quadrato, relazione

Risultati

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