Des triangles, oui, mais combien ?

Identification

Rallye: 21.I.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: GP
Familles:

• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire

Envoyer une remarque ou une suggestion

Résumé

Déterminer le nombre de triangles (35) que l’on peut observer dans une figure composée d’un pentagone régulier et de ses diagonales.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Savoir reconnaître des triangles dans la figure en tenant compte du caractère régulier de la figure pour identifier les triangles égaux ;

- S’organiser pour ne pas oublier de triangles, ne pas comptabiliser deux fois le même. Par exemple : les 10 triangles du pavage autour du pentagone central (noté p pour la suite de cette analyse); on peut éventuellement constater que 5 n’ont que des angles aigus, (notés a pour la suite) et que les 5 autres ont un angle obtus (notés o pour la suite).

• les 10 triangles composés d’un triangle o et d’un triangle a (a, o)
• les 5 triangles composés de deux triangles o et un triangle a (o, a, o), un par sommet du pentagone,
• les 5 triangles (avec une diagonale comme base), composés du pentagone central et de deux triangles a (a, p, a),
• les 5 triangles (avec un côté comme base), composés du pentagone central, un triangle o et de trois triangles a (o, a, a, p, a),

Soit cinq types de triangles faisant au total 10 + 10 + 5 + 5 + 5 = 35 triangles.

Il y a évidemment de nombreuses autres façons d’organiser l’inventaire, avec de nombreux risques de confusions ou d’oublis :

• nommer tous les « sommets » de la figure (ou les segments) et désigner les triangles par ces sommets (ou ces segments), ce qui aboutit à une notation lourde et longue, difficile à contrôler,
• utiliser des couleurs, ce qui ne permet plus de distinguer les traits,
• nommer les 11 « pavés de base » et désigner les triangles par leur composition de ces pavés,
• travailler par types de triangles d’une autre manière que ci-dessus, en tenant compte par exemple des symétries du pentagone régulier …

La tâche principale est précisément de choisir la représentation la plus efficace pour le contrôle et l’élimination des doublons.

Notions mathématiques

triangle, segment, dénombrement, visualisation

Résultats

21.I.11

Points attribués, sur 2247 classes de 22 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (35) avec explications claires et complètes (texte, liste ou dessin)
• 3 points: Réponse correcte (35) avec explications incomplètes
  ou réponse 34 ou 36 avec un seul oubli ou un seul doublon, avec explications
• 2 points: Réponse (35) sans aucune explication
  ou réponse (25 ou 30) avec oubli d’un seul des 5 types de triangles, avec explications
  ou réponse incorrecte due à 2 à 3 oublis ou doublons avec explications
• 1 point: Réponse (15, 20 ou 25) avec oubli de deux types de triangles
  ou réponse incorrecte due à 4 ou 5 oublis ou doublons
• 0 point: Moins de 15 triangles différents repérés

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Le problème est bien « consistant », le dénombrement s’améliore avec l’âge mais reste bien aléatoire puisque seulement un quart des classes de catégorie 8 arrivent à la solution.

A observer :

• les différentes manières de présenter les résultats ; par des symboles, par des coloriages, sur une ou plusieurs figures, réfuter ou confirmer la procédure par sommets ou côtés
• erreurs les plus fréquentes : doublons, oublis d’un triangle particulier, décomposition de la figure en cinq parties et dénombrement au sein de ces parties sans penser aux triangles communs.

A comparer avec les variantes "très proches" Les triangles (I) (16.I.04), Les triangles (II) (16.I.14), Combien de triangles ? (07.F.12), Le foulard de grand-mère (13.I.05), etc.

Pour Les triangles (II) (16.I.14) avec un dénombrement tout à fait comparable, les moyennes respectives des catégories 6, 7 et 8 étaient 1,5, 1,7 et 2,0.