Triangoli, sì, ma quanti ?
Identificazione
Rally:
21.I.11 ; categorie:
6, 7, 8 ; ambito:
GPFamiglie:
Remarque et suggestion
Sunto
Determinare il numero di triangoli (35) che si possono osservare nella figura composta da un pentagono regolare e le sue diagonali.
Enunciato
Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati
- Saper riconoscere dei triangoli nella figura tenendo conto del carattere regolare della figura stessa per identificare i triangoli congruenti.
- Organizzare la ricerca per non dimenticare dei triangoli e per non contare due volte lo stesso. Per esempio:
- i 10 triangoli intorno al pentagono centrale (chiamato p in seguito); si può eventualmente constatare che 5 sono acutangoli, (chiamati a in seguito) e che gli altri 5 sono ottusangoli (chiamati o in seguito).
- i 10 triangoli composti da un triangolo acutangolo e da un triangolo ottusangolo (a, o)
- i 5 triangoli composti da due triangoli ottusangoli e da un triangolo acutangolo (o, a, o), uno per lato del pentagono,
- i 5 triangoli (con una diagonale come base), composti dal pentagono centrale e da due triangoli acutangoli (a, p, a),
- i 5 triangoli (con un lato come base), composti dal pentagono centrale, da un triangolo ottusangolo e tre triangoli acutangoli (o, a, a, p, a),
Sono cinque tipi di triangoli che fanno in totale 10 + 10 + 5 + 5 + 5 = 35 triangoli.
- Ci sono evidentemente numerosi altri modi per organizzare l’inventario con molti rischi di confusione o di dimenticanze:
- nominare tutti i “vertici” della figura (o i segmenti) e individuare i triangoli con questi vertici (o segmenti), ciò porta ad una notazione pesante e lunga, difficile da controllare,
- utilizzare dei colori che non permettono più di distinguere le linee,
- nominare le 11 “figure di base” e designare i triangoli con la composizione di queste “figure”,
- lavorare per tipi di triangoli in modo diverso da quello descritto sopra tenendo conto per esempio delle simmetrie del pentagono regolare ...
Il compito principale è proprio quello di scegliere la rappresentazione più efficace per il controllo e l’eliminazione dei doppioni.
Nozioni matematiche
triangolo, segmento, conteggio, visualizzazione
Risultati
22.I.11
Punteggi attribuiti, su 2247 classi di 22 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
---|
Cat 6 | 181 (21%) | 355 (41%) | 248 (29%) | 47 (5%) | 31 (4%) | 862 | 1.29 |
---|
Cat 7 | 125 (16%) | 336 (42%) | 206 (26%) | 77 (10%) | 57 (7%) | 801 | 1.51 |
---|
Cat 8 | 66 (11%) | 156 (27%) | 213 (36%) | 78 (13%) | 71 (12%) | 584 | 1.88 |
---|
Totale | 372 (17%) | 847 (38%) | 667 (30%) | 202 (9%) | 159 (7%) | 2247 | 1.52 |
---|
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
- 4 punti: Risposta corretta (35) con spiegazioni chiare e complete (testo, liste o disegno)
- 3 punti: Risposta corretta (35) con spiegazioni incomplete
- 2 punti: Risposta corretta (35) senza alcuna spiegazione
oppure risposta (30 o 25) con dimenticanza di uno solo dei 5 tipi di triangoli con spiegazione
oppure risposta non corretta a causa di 2 o 3 dimenticanze/doppioni con spiegazione - 1 punto: Risposta (15, 20 o 25) con dimenticanza di due tipi di triangoli
oppure risposta non corretta a causa di 4 o 5 dimenticanze/doppioni - 0 punto: Meno di 15 triangoli differenti individuati
Procedure, ostacoli ed errori rilevati
Il problema è “sostanzioso”, il conteggio sembra migliorare con l’età ma resta piuttosto aleatorio se si osserva che solo un quarto delle classi di categoria 8 arriva alla soluzione.
Da notare:
• le diverse maniere di presentare i risultati: con dei simboli, con colorazioni, su una o svariate figure, refutare o confermare le procedure tramite vertici o lati
• gli errori più frequenti: doppioni, dimenticanza di un particolare triangolo, scomposizione della figura in cinque parti e conteggio in seno a questa parti senza pensare ai triangoli.
Da confrontare con varianti molto vicine I triangoli (I) (16.I.04), I triangoli (II) (16.I.14), Quanti triangoli (07.F.12), Lo scialle della nonna (13.I.05), etc.
Per I triangoli (II) con un conteggio del tutto paragonabile, le medie rispettive delle categorie 6, 7 et 8 sono state 1,5, 1,7 et 2,0.
(c) ARMT, 2013-2024