Triangoli, sì, ma quanti ?

Identificazione

Rally: 21.I.11 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: GP
Famiglie:

• IF - Identificare figure
• IF/INV - Fare un inventario

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Sunto

Determinare il numero di triangoli (35) che si possono osservare nella figura composta da un pentagono regolare e le sue diagonali.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Saper riconoscere dei triangoli nella figura tenendo conto del carattere regolare della figura stessa per identificare i triangoli congruenti.

- Organizzare la ricerca per non dimenticare dei triangoli e per non contare due volte lo stesso. Per esempio:

• i 10 triangoli intorno al pentagono centrale (chiamato p in seguito); si può eventualmente constatare che 5 sono acutangoli, (chiamati a in seguito) e che gli altri 5 sono ottusangoli (chiamati o in seguito).
• i 10 triangoli composti da un triangolo acutangolo e da un triangolo ottusangolo (a, o)
• i 5 triangoli composti da due triangoli ottusangoli e da un triangolo acutangolo (o, a, o), uno per lato del pentagono,
• i 5 triangoli (con una diagonale come base), composti dal pentagono centrale e da due triangoli acutangoli (a, p, a),
• i 5 triangoli (con un lato come base), composti dal pentagono centrale, da un triangolo ottusangolo e tre triangoli acutangoli (o, a, a, p, a),

Sono cinque tipi di triangoli che fanno in totale 10 + 10 + 5 + 5 + 5 = 35 triangoli.

- Ci sono evidentemente numerosi altri modi per organizzare l’inventario con molti rischi di confusione o di dimenticanze:

• nominare tutti i “vertici” della figura (o i segmenti) e individuare i triangoli con questi vertici (o segmenti), ciò porta ad una notazione pesante e lunga, difficile da controllare,
• utilizzare dei colori che non permettono più di distinguere le linee,
• nominare le 11 “figure di base” e designare i triangoli con la composizione di queste “figure”,
• lavorare per tipi di triangoli in modo diverso da quello descritto sopra tenendo conto per esempio delle simmetrie del pentagono regolare ...

Il compito principale è proprio quello di scegliere la rappresentazione più efficace per il controllo e l’eliminazione dei doppioni.

Nozioni matematiche

triangolo, segmento, conteggio, visualizzazione

Risultati

22.I.11

Punteggi attribuiti, su 2247 classi di 22 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (35) con spiegazioni chiare e complete (testo, liste o disegno)
• 3 punti: Risposta corretta (35) con spiegazioni incomplete
• 2 punti: Risposta corretta (35) senza alcuna spiegazione
  oppure risposta (30 o 25) con dimenticanza di uno solo dei 5 tipi di triangoli con spiegazione
  oppure risposta non corretta a causa di 2 o 3 dimenticanze/doppioni con spiegazione
• 1 punto: Risposta (15, 20 o 25) con dimenticanza di due tipi di triangoli
  oppure risposta non corretta a causa di 4 o 5 dimenticanze/doppioni
• 0 punto: Meno di 15 triangoli differenti individuati

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Il problema è “sostanzioso”, il conteggio sembra migliorare con l’età ma resta piuttosto aleatorio se si osserva che solo un quarto delle classi di categoria 8 arriva alla soluzione.

Da notare:

• le diverse maniere di presentare i risultati: con dei simboli, con colorazioni, su una o svariate figure, refutare o confermare le procedure tramite vertici o lati

• gli errori più frequenti: doppioni, dimenticanza di un particolare triangolo, scomposizione della figura in cinque parti e conteggio in seno a questa parti senza pensare ai triangoli.

Da confrontare con varianti molto vicine I triangoli (I) (16.I.04), I triangoli (II) (16.I.14), Quanti triangoli (07.F.12), Lo scialle della nonna (13.I.05), etc.

Per I triangoli (II) con un conteggio del tutto paragonabile, le medie rispettive delle categorie 6, 7 et 8 sono state 1,5, 1,7 et 2,0.