Banca di problemi del RMT
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Interpretare un disegno e riconoscere che si tratta di un triangolo rettangolo. Calcolare la misura di un cateto conoscendo le misure dell'ipotenusa e dell'altro cateto.
Analisi a priori
- Osservare il disegno e ipotizzare che il triangolo PRS sia rettangolo in R.
- Per dimostrare questo, osservare che il triangolo POR è equilatero, avendo i suoi tre lati della stessa lunghezza. Dedurne che l’angolo ROS misura 120° (= 180° – 60°) perché è esterno all’angolo POR del triangolo equilatero. Poiché il triangolo ROS è isoscele, i suoi angoli in R ed S misurano 30°. L’angolo PRS misura dunque 60°+ 30° = 90°.
Oppure: osservare che il triangolo PRS è inscritto nella semicirconferenza di centro O e raggio 20 m.
- Applicare il teorema di Pitagora per calcolare la misura di RS.su Si ottiene RS2 = (2 x 20)2 – 202 = 3 x 202, da cui RS = 20√3 che, con l’approssimazione richiesta, dà: RS = 34,64 m a meno di 1 cm.
Oppure: tracciando l’altezza OH del triangolo equilatero, che è anche una mediana, e tracciando la parallela a PR passante per O che taglia RS nel suo punto di mezzo M, si ottiene un rettangolo OMRH in cui RM = OH = 20√3/2 ≈ 17,320 m (proprietà dell’altezza di un triangolo equilatero o teorema di Pitagora). La lunghezza SR è allora il doppio: 34,64 m a meno di un 1 cm.
Oppure: constatare che il triangolo PSR è un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, quindi è la metà di un triangolo equilatero di cui SR è l’altezza. Segue SR = SP√3/2 = 40√3/2 = 34,64 m a meno di 1 cm.
Oppure: dopo aver visto che il triangolo ORS è isoscele, tracciando la sua altezza da O, si ottengono due triangoli rettangoli simmetrici. La lunghezza della proiezione di OR su RS può essere ottenuta mediante le proprietà dei triangoli rettangoli con angoli di 30° e di 60°, e moltiplicandola per 2 si ottiene la lunghezza RS: 2 x 20√3/2 = 34,64 m a meno di 1 cm.
Punteggi attribuiti su 707 classi:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 75 (15%) | 41 (8%) | 65 (13%) | 175 (36%) | 132 (27%) | 488 | 2.51 |
| Cat 9 | 23 (18%) | 5 (4%) | 15 (12%) | 34 (27%) | 49 (39%) | 126 | 2.64 |
| Cat 10 | 23 (18%) | 5 (4%) | 15 (12%) | 34 (27%) | 49 (39%) | 126 | 2.64 |
| Totale | 121 (16%) | 51 (7%) | 95 (13%) | 243 (33%) | 230 (31%) | 740 | 2.55 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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