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Banca di problemi del RMT

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Il serpente miope

Identificazione

Rally: 13.F.16 ; categorie: 8, 9 ; ambito: GP
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Analizzare una sequenza di semicerchi allineati alternativamente i cui diametri successivi (256, 192, 144…) sono in progressione geometrica. Trovare la somma dei termini successivi e la lunghezza della figura.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

Il compito per la risoluzione di questo problema richiede che vengano mobilizzati saperi di diversi ambiti concettuali che vanno dall’aritmetica (successioni e calcolo della somma di termini di una progressione geometrica) alla geometria (lunghezza della circonferenza, teorema di Talete, similitudine) ad un approccio all’analisi.

//In merito al compito per la risoluzione://

- A priori, per trovare la distanza richiesta, si può pensare:

1) a calcolare il rapporto – menzionato nell’enunciato – tra un diametro e il successivo ed osservare che è costante: 256/192 = 192/144 = 144/108 = … = 4/3 e, a partire da questa osservazione, trovare i termini seguenti della successione e calcolare, utilizzando una calcolatrice, un’approssimazione della somma dei termini: 256 + 192 + 144 + 108 + 81 + 60,75 + 45,5625 + … . Con tale procedura si arriva a circa 966 dopo 10 termini, circa 1010 dopo 15 termini, circa 1021 dopo 20 termini, circa 1023 dopo 25 termini, …. . Questo permette di osservare che al crescere del numero di termini, la somma cresce molto poco e quindi non si discosterà molto da 1023.

Vale la pena di ricordare che la scrittura formale delle due somme S = 256 + 256 (3/4) + 256 (3/4)2 + … e (3/4) S = 256 (3/4) + 256 (3/4)2 + … e della loro differenza S - (3/4) S = 256,

permette di passare all’equazione (nell’incognita S) S/4 = 256, e di concludere S = 1024.

2) a fare ricorso alle conoscenze sulla similitudine che permettono di constatare che le semicirconferenze sono omotetiche e che il centro di omotetia è l’estremità della coda.

2.1) Con un disegno geometrico preciso, si può ottenere la misura, con una buona approssimazione, del segmento di estremi A e P (punto di intersezione tra l’asse uscente da A e la tangente alle semicirconferenze).

2.2) Oppure, con il ricorso al teorema di Talete (vedasi figura), considerare il rapporto d/128 = (d - 224)/96, da cui d = 996 e la misura della distanza richiesta è quindi 996 + 128 = 1024 (in mm).


Nozioni matematiche

geometria, cercio, similitudine, rapporto, progressione geometrica, ragione, approssimazione, limite

Risultati

13.F.16

su 37 classi finaliste di 10 sezioni

Punteggi attribuiti su 3176 classi di 21 sezioni:

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 811 (39%)14 (50%)1 (4%)2 (7%)0 (0%)280.79
Cat 93 (27%)5 (45%)1 (9%)0 (0%)2 (18%)111.36
Totale14 (36%)19 (49%)2 (5%)2 (5%)2 (5%)390.95
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Questi risultati sono stabiliti su un numero limitato di classi. Tuttavia, sono stati confermati da un'analisi più approfondita nell'ambito della "Finale delle finali", in cui sono state analizzate gli elaborati delle classi "vincitrici" delle 21 sezioni partecipanti al 13o RMT, con una media dei punteggi inferiore a 1 nelle due categorie interessate.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

In molti elaborati viene riconosciuto e applicato il rapporto costante 4/3 (più frequentemente scritto in forma di decimale). Tuttavia in linea generale, le procedure non hanno condotto alla risoluzione completa del problema a causa, in particolare, della prevedibile difficoltà a immaginare un processo all’infinito della coda del serpente. Per contro, il dato secondo il quale i diametri delle semicirconferenze decrescono secondo un rapporto costante, ha permesso a una parte di gruppi di allievi, di arrivare a una risposta non lontana da 1024 per ciò che riguarda la distanza tra il collo e la fine della coda del serpente. In tal caso, comunque, in genere è stato supposto, “alla fine” del processo di divisione, un diametro nullo (per esempio 0,0075 assimilato a 0). A questa interruzione del processo di addizione è spesso associata la risposta sul numero di semicirconferenze visibili, che viene identificato con il numero finito di addendi considerati, come evidenziato nel seguente elaborato di categoria 8:

//Considerando che il rapporto costante tra i vari diametri è 4/3, abbiamo continuato la divisione per questo numero fino a raggiungere un numero approssimativamente uguale a 0. Abbiamo ottenuto: 256 mm; 192; 144; 108; 81; 60,75;45,56; 34,17; 25,62; 19,22; 14,41; 10,81; 8,10; 6,08;4,36; 3,48; 2,56; 1,92; 1,44; 1,02;0,81; 0,60; 0,45; 0,34; 0,25; 0,19; 0,14; 0,10; 0, 02; 0,06; 0.04; 0,03; 0,02; 0,01; 0,00 (che non è da contare come diametro) che sommati insieme danno 1023,82 mm. Cioè la distanza dal collo alla coda del serpente. Le circonferenze in tutto sono 34 (numero che abbiamo ricavato contando i diametri) e il serpente non ne vede 28-29.

Il rapporto fra i diametri delle circonferenze è anche il protagonista di una “estrapolazione soggettiva” di un gruppo di allievi che vede nel numero illimitato di cifre del numero periodico, l’infinità di circonferenze, mettendo in evidenza una confusione fra aspetti non connessi fra loro.

//Siamo arrivati ala conclusione che il rapporto tra una circonferenza e l'altra è 4/3 (256.4/3 = 192 , 192.4/3 = 144). Andando avanti con questa divisione i numeri diminuiscono sempre ma non giungono mai allo zero, perchè il rapporto fra i numeri è 4/3 che è un numero decimale, illimitato, periodico, semplice. Dunque le circonferenze che non vede sono infinite.

Con l’analisi a posteriori ci si può rendere conto di come una nozione possa, se mal interpretata, portare a misconcezioni!

Indicazioni didattiche

Questo problema, che, come osservato più sopra, spazia dalla geometria - con la lunghezza della circonferenza, il teorema di Talete, la similitudine - all’aritmetica - con le successioni, il calcolo della somma di termini di una progressione geometrica - nonché ad un approccio all’idea di infinito in matematica, si presta bene ad essere utilizzato in classe per attività costruttive su tali tematiche, che possono inoltre condurre ad interessanti dibattiti.

In particolare, la questione relativa al numero di semicirconferenze è particolarmente interessante proprio in vista di un dibattito tra, da un lato, allievi che considerano che siano in numero finito e dall’altro, allievi che, pur in maniera informale, utilizzano espressioni quali “tante quante si vuole”, “delle centinaia o delle migliaia”, “un’infinità”.

Quali riflessioni fanno gli allievi in questo caso? Quanto è difficile accettare che la somma di infiniti addendi abbia un risultato finito? Dal punto di vista geometrico emerge il conflitto tra i concetti di “infinito” e “limitato”: può uno spazio limitato contenere infiniti elementi (infinite semicirconferenze)?

In effetti, laddove il matematico vede un approccio all’infinito, lo zoologo (e molti allievi) sanno bene che il serpente ha un corpo di lunghezza finita. Si tratta dunque di abbandonare i vincoli della realtà fisica per passare alla finzione matematica o, viceversa, indurre riflessioni sul grado di significatività della risposta in termini reali. Ad esempio, in classe si potrebbe chiedere quale misura del diametro, al massimo, potrebbe essere considerata significativa o percepibile. Sarebbe un’occasione per aprire la strada a primi aspetti di tipo infinitesimale.

Bibliografia

Gruppo Zeroallazero (C. Bisso, S. Foglia, L. Grugnetti, A. Maffini, C. Marchini, M. Rapuano, A. Rizza, V. Vannucci, con l'apporto dell'ARMT) Il sogno di Cirillo e la sfida della tartaruga (Pitagora Editrice- 2009).

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