Promenade dans le parc

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Rallye: 18.I.18 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/PY - Utiliser une relation classique

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Résumé

Comparer les périmètres de deux triangles rectangles ayant une hypoténuse commune de 200 m de longueur, l’un ayant un angle de 45 degrés, l’autre ayant un angle de 60 degrés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Analyser les deux triangles et comprendre que BKS, rectangle, est demi-triangle équilatéral, et par conséquent son côté BK mesure 100 m (moitié de BS) ; BGS est rectangle isocèle (demi carré de diagonale BS).

- Calculer la longueur KS par Pythagore ou en se souvenant de la formule pour la hauteur d’un triangle équilatéral. KS = 100 √3 en m. [√ (200² – 100²)= √ (30000) ]

- Calculer la longueur des côtés du carré de diagonale BS = 200 : BG = GS = 200/√2= 200√2/ 2 = 100√2; ou, par Pythagore x² + x² = 200² => x = √ 200

Trouver alors les parcours, en mètres, d’Anne, 100√2 + 100 √2= 200√2 et de Claudio, 100 + 100√3

- Pour confronter les longueurs des deux parcours procéder selon l’une des façons suivantes :

• par approximations de √2 et √3 trouver pour Anne 200√2 ≅280 et pour Claudio 100 +100√3 ≅ 270

• par calcul formel, par exemple : diviser les deux expressions par 100 et arriver à 2√2 et 1 + √3 ; les élever chacune au carré pour obtenir 8 et 4 + 2√3 ; enlever 4 pour obtenir 4 et 2√3 ; diviser par 2 pour arriver finalement à 2 et √3. En conclure que la première est plus grande que la seconde.

(Dans l’activité en classe, ce problème permet de travailler les comparaisons de radicaux, non pas seulement en soi mais pour la recherche d’une solution et permet aussi de travailler avec des nombres comme √2 et √3.

Si les élèves mesurent directement les distances sur un dessin « précis », ils auront de la peine à se prononcer sur la comparaison, ce qui peut constituer une motivation pour le recours aux instruments mathématiques adéquats.)

Notions mathématiques

géométrie, triangle rectangle, Pythagore, côté, approximations

Résultats

18.I.18

Points attribués sur 252 classes:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les deux réponses correctes (non, Anne a un parcours plus long : 200√2 > 100 + 100√3) avec démonstration de l’inégalité ou par une approximation d’environ 280 et 270 (en mètres), avec explications cohérentes et correctes de la procédure entière
• 3 points: Les deux réponses correctes (non, Anne a un parcours plus long : 200√2 > 100 + 100√3) mais sans démonstration de l’inégalité ou par une approximation d’environ 280 et 270 (en mètres), dont l’explication est incomplète
• 2 points: Un seul parcours calculé correctement avec explications
  ou deux parcours sans aucune explication
  ou les deux réponses obtenues par mesures sur un dessin très précis et indication des approximations
• 1 point: Procédure correcte, mais erreurs de calcul
• 0 point: Incompréhension du problème ou réponses qui ne tiennent pas compte de l’approximation des mesures
  ou réponses obtenues par mesures sur la figure donnée