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Banque de problèmes du RMTgp27-fr |
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Comparer les périmètres de deux triangles rectangles ayant une hypoténuse commune de 200 m de longueur, l’un ayant un angle de 45 degrés, l’autre ayant un angle de 60 degrés.
Analyse a priori
- Analyser les deux triangles et comprendre que BKS, rectangle, est demi-triangle équilatéral, et par conséquent son côté BK mesure 100 m (moitié de BS) ; BGS est rectangle isocèle (demi carré de diagonale BS).
- Calculer la longueur KS par Pythagore ou en se souvenant de la formule pour la hauteur d’un triangle équilatéral. KS = 100 √3 en m. [√ (2002 – 1002)= √ (30000) ]
- Calculer la longueur des côtés du carré de diagonale BS = 200 : BG = GS = 200/√2= 200√2/ 2 = 100√2; ou, par Pythagore x2 + x2 = 2002 => x = √ 200
Trouver alors les parcours, en mètres, d’Anne, 100√2 + 100 √2= 200√2 et de Claudio, 100 + 100√3
- Pour confronter les longueurs des deux parcours procéder selon l’une des façons suivantes :
• par approximations de √2 et √3 trouver pour Anne 200√2 ≅280 et pour Claudio 100 +100√3 ≅ 270
• par calcul formel, par exemple : diviser les deux expressions par 100 et arriver à 2√2 et 1 + √3 ; les élever chacune au carré pour obtenir 8 et 4 + 2√3 ; enlever 4 pour obtenir 4 et 2√3 ; diviser par 2 pour arriver finalement à 2 et √3. En conclure que la première est plus grande que la seconde.
(Dans l’activité en classe, ce problème permet de travailler les comparaisons de radicaux, non pas seulement en soi mais pour la recherche d’une solution et permet aussi de travailler avec des nombres comme √2 et √3.
Si les élèves mesurent directement les distances sur un dessin « précis », ils auront de la peine à se prononcer sur la comparaison, ce qui peut constituer une motivation pour le recours aux instruments mathématiques adéquats.)
géométrie, triangle rectangle, Pythagore, côté, approximations
Points attribués sur 252 classes:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
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Cat 9 | 78 (55%) | 3 (2%) | 12 (8%) | 3 (2%) | 47 (33%) | 143 | 1.57 |
Cat 10 | 64 (59%) | 4 (4%) | 12 (11%) | 8 (7%) | 21 (19%) | 109 | 1.25 |
Total | 142 (56%) | 7 (3%) | 24 (10%) | 11 (4%) | 68 (27%) | 252 | 1.43 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
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