Passeggiata nel parco

Identificazione

Rally: 18.I.18 ; categorie: 9, 10 ; ambito: GM
Famiglie:

• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/PY - Utilizzare una relazione classica

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Sunto

Confrontare i perimetri di due triangoli rettangoli aventi l'ipotenusa comune di 200 m di lunghezza. Un triangolo ha un angolo di 45 gradi, l'altro ha un angolo di 60 gradi.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Analizzare i due triangoli e capire che, indicati con P, U, G ed E i quattro vertici del quadrilatero, il triangolo PEU, rettangolo, è metà di un triangolo equilatero, pertanto il cateto PE misura 100 m (è metà del lato PU); il triangolo PGU è rettangolo isoscele, metà di un quadrato con diagonale PU.

- Calcolare la lunghezza del lato EU, in metri, applicando il teorema di Pitagora o ricordando il valore dell’altezza di un triangolo equilatero, nota la lunghezza del lato: EU = 100√3 in m. √(200² - 100²) = √30000

- Calcolare la lunghezza del lato del quadrato di cui il triangolo PGU è la metà, tenendo conto che la lunghezza della diagonale è 200 m. Si ottiene 100√2 a partire da PG = d (diagonale) /√2 = 100√2; oppure applicando il teorema di Pitagora al triangolo PGU, rettangolo isoscele, per trovare i cateti. Trovare quindi il percorso di Anna: 100√2 + 100√2 = 200√2 (in metri) e quello di Claudio: 100 + 100√3 (in metri)

- Per confrontare la lunghezza dei due percorsi, procedere in due possibili modi:

• operare con approssimazioni di √2 e √3 e arrivare a trovare nel caso di Anna 200√2 = 280 (in metri) e nel caso di Claudio 100 +100√3 = 270 (in metri)
• per confrontare le due espressioni operare formalmente, per esempio nel modo seguente: dopo aver diviso per 100 le misure di entrambi i percorsi si ottiene 2√2 per Anna e 1 + √3 per Claudio, elevare poi entrambi i numeri al quadrato ottenendo 8 e 4 + 2√3 , oppure, nella forma 4 + 4 e 4 + 2√3 che porta a concludere che la prima espressione è maggiore della seconda.

Nell’attività di classe questo problema offre l’opportunità di lavorare con il confronto tra radicali quadratici non in modo fine a se stesso, ma per la ricerca della soluzione ed inoltre offre lo spunto per un confronto diretto tra √2 e √3.

Laddove gli allievi procedano con una misurazione diretta dei due percorsi su un disegno “preciso”, diventa difficile stabilire il confronto e questo può costituire una valida motivazione al ricorso a strumenti matematici adeguati.

Nozioni matematiche

geometria, triangolo rettangolo, Pitagora, lato, approssimazione

Risultati

18.I.18

Punteggi attribuiti su 252 classi:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Le due risposte corrette (no, il percorso di Anna è più lungo: 200√2 > 100 + 100√3) con “dimostrazione” della disuguaglianza; oppure circa 280 e circa 270 (in metri), con spiegazione coerente e corretta (l’intera procedura)
• 3 punti: Le due risposte corrette (no, il percorso di Anna è più lungo: 200√2 > 100 + 100√3), ma senza “dimostrazione” della disuguaglianza; oppure circa 280 e circa 270 (in metri), ma con spiegazione della procedura incompleta
• 2 punti: Un solo percorso calcolato in modo corretto con spiegazioneo 2 percorsi senza alcuna spiegazione
  oppure le due risposte date tramite misurazioni su un disegno molto preciso e indicazione delle approssimazioni
• 1 punto: Procedura corretta, ma errori di calcolo
• 0 punto: Incomprensione del problema o risposta che non tiene conto dell’approssimazione delle due misure
  oppure risposta ottenute con misurazioni fatte sulla figura data