Sul muro della scuola (I)

Identificazione

Rally: 18.II.06 ; categorie: 4, 5 ; ambito: GP
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• IF - Identificare figure
• IF/RC - Riconoscere e costruire figure elementari
• QUA - Lavorare su una quadrettatura
• QUA/GQ - Gestire poligoni su carta quadrettata

Remarque et suggestion

Sunto

Tra dieci quadrilateri disegnati su una quadrettatura, accostati in modo da avere un lato in comune con il successivo, riconoscere i rettangoli, i parallelogrammi non rettangoli e gli altri quadrilateri.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Esaminare i quadrilateri uno ad uno e constatare che il primo è un rettangolo perché i suoi lati sono disposti lungo la quadrettatura (lati opposti paralleli e congruenti e angoli retti facilmente individuabili come tali) ed è quindi da colorare di rosso.

- La figura 2 (se pensiamo le figure “numerate” idealmente, da sinistra a destra), i cui lati sono paralleli due a due, può essere paragonata al primo quadrilatero per vedere che è un parallelogramma non rettangolo da colorare di verde.

- Le figure 3 e 4, che non hanno entrambe le coppie di lati opposti paralleli, non sono dei parallelogrammi e dovranno essere colorate di giallo.

- Per la figura 5, i cui lati sono paralleli due a due, si deve guardare attentamente o utilizzare una squadretta per constatare che è un parallelogramma non rettangolo da colorare di verde.

- Constatare che le figure 6 e 7 non sono dei parallelogrammi perché hanno lati opposti non paralleli; dovranno quindi essere colorate di giallo.

- Constatare che la figura 8 è un rettangolo perché ha i lati opposti paralleli e congruenti e gli angoli retti e va colorato di rosso (anche qui è necessario l’uso di una squadretta).

- Per la figura 9, i cui lati sono paralleli due a due, si deve guardare attentamente (o forse utilizzare una squadretta) per constatare che è un parallelogramma non rettangolo da colorare di verde.

- La figura 10 non è un parallelogramma (è un trapezio rettangolo) e quindi da colorare di giallo.

Nozioni matematiche

rettangolo, parallelogramma, quadrilatero, area, parallele, perpendicolare, lato

Risultati

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (rosso: 1, 8; verde: 2, 5, 9; giallo: 3, 4, 6, 7, 10)
• 3 punti: Risposta con il solo errore: la figura 5 in rosso o la figura 8 di verde
• 2 punti: Risposta con i due errori: la figura 5 in rosso e la figura 8 di verde
• 1 punto: Risposta con più di due errori sulle figure rosse e verdi, ma con le figure gialle tutte correttamente individuate
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Il gruppo “geometria piana” del RMT ha iniziato una ricerca sul concetto di rettangolo ed ha constatato che, contrariamente a ciò che si potrebbe pensare, numerosi allievi sono incapaci di riconoscere un rettangolo laddove non si presenti in una posizione “convenzionale”. E quando si chiede loro di completare un rettangolo, di cui sia dato un lato, spesso costruiscono un parallelogramma non rettangolo, cioè non tengono conto del criterio degli angoli retti.(Si veda per esempio il problema Il tavolo da sportare)

In questo problema, l’aspetto precipuo è la distinzione tra rettangolo e parallelogramma non rettangolo tramite le loro proprietà caratteristiche.

L’errore più frequente, per circa la metà degli elaborati esaminati, è in effetti quello di considerare il quinto quadrilatero dalla sinistra come un rettangolo, senza rendersi conto che la sua “larghezza” è la diagonale di un rettangolo (1 x 2) e la sua “lunghezza” è la diagonale di un rettangolo (1 x 3).

Gli ostacoli sono di ordine percettivo (gli allievi si accontentano di una somiglianza visiva del quinto quadrilatero con un rettangolo senza pensare ad approfondire l’esame, né a utilizzare la loro squadretta), di ordine didattico (non hanno l’abitudine di verificare se gli angoli sono veramente retti in quanto i rettangoli sono quasi sempre presentati in posizione convenzionale) e, infine, di ordine concettuale (in quanto bisogna stabilire il legame fra l’angolo retto e la rotazione di 90 gradi osservando la disposizione dei lati assimilati a diagonali di rettangoli sulla quadrettatura, come mostrano le figure più sotto riportate:) (insérer figures)

Le costatazione sono le stesse per la variante di questo problema Sul muro della scuola (II) proposto a categorie più elevate: 6, 7 e 8.

Indicazioni didattiche

Riprendere il problema in classe, chiedere agli allievi di colorare i rettangoli e poi confrontare le risposte (soffermarsi sulle differenze a proposito della quinta figura), avviare un dibattito per arrivare a una soluzione comune e accettata da tutti. Il ricorso alla squadretta è evidentemente una maniera di riconoscere gli angoli retti, ma si può arrivare a osservazioni più fini relative alle posizioni dei lati in rapporto alla quadrettatura.

Si arriverà così a sensibilizzare gli allievi alle rotazioni di un quarto di giro, disegnando numerosi rettangoli e quadrati i cui vertici sono situati su punti della quadrettatura e facendoli ruotare intorno a un vertice fino a che un lato si sovrapponga alla traccia del lato adiacente prima della rotazione. (L'uso di carta trasparente favorisce queste constatazioni).

L’ottavo quadrilatero è interessante da questo punto di vista in quanto i suoi lati sono non solo diagonali di rettangoli (1 x 2) della quadrettatura, ma anche di rettangoli (2 x 4), poi, prolungandoli, di rettangoli (3 x 6), poi di (4 x 8) … con un’apertura sull’uguaglianza dei rapporti, come approccio alla proporzionalità in una situazione geometrica.

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