Bâtonnets et triangles

Identification

Rallye: 21.I.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: GP, OPN
Familles:

• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire

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Résumé

Trouver le nombre de triangles différents dont les mesures des côtés sont trois des six nombres 4, 5, 6, 9, 10, 11.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que trois bâtonnets permettent de construire un seul triangle.

- Comprendre que seulement les triplets vérifiant l’inégalité triangulaire permettent de construire un triangle (par exemple les triplets comme 4 - 5 - 10 ou 4 - 5 - 9 ne le permettent pas. (Un obstacle bien connu est celui du recours au seul dessin pour décider si le triangle est constructible : car même avec un dessin précis un triangle « impossible » peut apparaître 4 - 5 - 9 ou 4 - 6 - 10 ou 5 - 6 - 11).

- Dresser l’inventaire des 14 triplets différents (sans tenir compte de l’ordre pour éviter les triangles égaux) formés avec les 6 nombres: 4, 5, 6, 9, 10, 11, en éliminant ceux qui ne respectent pas l’inégalité triangulaire (l’un ne peut pas être supérieur ou égal à la somme des deux autres).

Trouver les 14 triplets solutions : 4 - 5 - 6 ; 4 - 6 - 9 ; 4 - 9 - 10 ; 4 - 9 - 11 ; 4-10-11 ; 5 - 6 - 9 ; 5 - 6- 10 ; 5 - 9 - 10 ; 5 - 9 - 11 ; 5 - 10 - 11 ; 6 - 9 - 10 ; 6 - 9 - 11; 6 - 10 - 11 : 9 - 10 - 11

Ou : dessiner les triangles un à un.

Ou : par manipulation, découper 6 bandes et procéder par essais successifs

- Conclure qu’il y a 14 triangles possibles (y compris celui qui figure dans l’énoncé)

Notions mathématiques

arithmétique, somme, différence, triangle, construction, inégalité triangulaire

Résultats

21.I.14

Points attribués, sur 1650 classes de 22 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (14 triangles donnés par leurs côtés ou par dessins) avec explications claires (inégalité triangulaire mentionnée, …)
• 3 points: Réponse correcte et complète sans explications
  ou une seule erreur (13 corrects et un oubli ou un seul doublon) avec explications
• 2 points: De 9 à 12 triangles corrects, oublis ou doublons ou solutions incorrectes (par ex. « triangle plat ») avec explications
  ou la réponse 14, sans explications
• 1 point: De 6 a 8 triangles corrects, avec oublis et intrus de la forme « triangle plat »
  ou réponse 20 triangles qui donne les 20 combinaisons des 6 nombres pris 3 à 3 (sans tenir compte des contraintes géométriques)
• 0 point: Incompréhension du problème ou moins de 6 triangles corrects

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Il semble qu’il y a beaucoup d’obstacles ou d’incompréhensions et que l’inégalité triangulaire n’est pas perçue.

D’après les expérimentations précédentes, on doit pouvoir reconnaître ceux qui se contentent d’un calcul combinatoire, de ceux pour à qui un enseignement trop abstrait a tué toute référence aux objets ou au « bon sens » géométrique.

L’analyse des copies doit pouvoir en dire plus. Elle pourra compléter celle du problème 07.II.09 Triangles et l’article qui s’y rapporte « La problematica delle condizioni di esistenza di un triangolo / La problématique des conditions d’existence d’un triangle Daniela Medici, Chantal Tièche Christinat et al. In actes Siena Neuchâtel 2001

Bibliographie

Adapté de Triangles (7.II.9)