Les cinq carrés

Identification

Rallye: 14.II.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: GP
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

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Résumé

Rechercher les dimensions d’un rectangle composé de cinq carrés, dont l’un a 16 cm de côté et deux autres sont isométriques, par une chaîne de déductions se basant sur des partages ou additions de segments.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Observer le dessin et les cinq carrés, vérifier les alignements.

- Constater que les deux petits carrés sont égaux, que leurs deux côtés alignés correspondent au côté du carré gris et que par conséquent, le côté de chaque petit carré mesure 8 cm, la moitié du côté du carré gris (16 : 2).

- Voir ensuite que le côté horizontal inférieur du carré vert est la somme des côtés du carré gris et d’un carré bleu, c’est-à-dire 24 (16 + 8). En déduire que, vu que la figure est un carré, tous ses côtés mesurent 24 cm.

- Par un raisonnement analogue, voir que les quatre côtés du carré orange mesurent 40 cm. (mesures du côté vert et de deux côtés des carrés bleus : 24 + 8 + 8)

- En déduire, par additions de mesures, la longueur du rectangle : 64 = 40 + 24 et la largeur : 40 = 24 + 16 ou la largeur du carré orange

Ou procéder par quadrillage progressif (en commençant par le carré gris et les deux petits, puis le vert, puis l’orange) de la figure en prenant les deux petits carrés bleus comme unité.

- Observer alors que le rectangle est composé de 5 x 8 petits carrés, chacun de 8 cm de côté (moitié d’un côté du carré gris).

Ou refaire la figure sur papier quadrillé et arriver aux observations précédentes

Notions mathématiques

carré, rectangle, comparaison, somme de segments, décomposition

Résultats

14.II.02

Sur 108 classes (6 sections) participant aux finales régionales, de 13 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (longueur : 64 cm, largeur : 40 cm) avec explications (calcul de toutes les mesures des côtés des carrés : 8, 24 = 8 + 16, 40 = 16 + 24, 64 = 40 + 24, ou mesure notées sur le dessin, ou dessin sur quadrillage)
• 3 points: Réponse correcte (longueur : 64 cm, largeur : 40 cm) sans explication
  ou les mesures de tous les carrés, avec explications, mais oubli de la somme pour la longueur ou la largeur
• 2 points: Quatre carrés bien déterminés (partie de droite) avec explications
  ou les mesures de tous les carrés, sans explications
  ou raisonnement correct mais avec une seule erreur de calcul
• 1 point: Début de raisonnement : détermination des côtés des deux petits carrés
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

La « réussite » à ce problème dépend de l’âge des élèves et révèle les difficultés que rencontrent les élèves de catégorie 3 à coordonner leurs observations sur la disposition des rectangles (longueur triple de la largeur) et à les mettre en oeuvre au niveau de la figure entière.