La vache dans le verger (I)

Identification

Rallye: 15.I.04 ; catégories: 3, 4 ; domaines: GM, GP
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/P - Comparer des aires sur un quadrillage
• QUA - Travailler sur un quadrillage
• QUA/GQ - Traiter des polygones sur quadrillages

Envoyer une remarque ou une suggestion

Résumé

Dessiner sur un réseau pointillé à maille carrée des polygones de même périmètre qu’un polygone donné, composé de 4 côtés de carrés du réseau et de 4 diagonales, mais d’aire plus grande.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori d'origine

- Interpréter le plan du verger : y repérer les arbres, les barres de longueurs différentes et les différents enclos

- Observer les contours des enclos et reconnaître qu’il y a deux sortes de barres, celles dont la longueur correspond à un « côté » de la maille carrée et celles dont la longueur correspond à une « diagonale ». Constater que chaque contour d’enclos est composé de quatre barres de chacune des deux sortes.

- Comprendre que « ce qu’il y a à brouter » dans l’enclos ou « plus d’herbe à manger » se réfère à l’aire de l’enclos, que la forme de l’enclos peut changer mais que le périmètre doit rester le même.

- Vérifier sur les deux enclos dessinés que le périmètre est le même et comparer leurs aires. Pour cela, trouver que les aires des enclos peuvent s’exprimer en « carrés » et/ou en « triangles » (un triangle est la moitié d’un carré). Par exemple, l’aire du lundi vaut 2 carrés entiers et 4 triangles, celle du mardi de 3 carrés entiers et 4 triangles. L’aire de l’enclos du mardi est effectivement plus grande que celle de l’enclos du lundi. Stratégies de résolution :

- Dessiner de façon aléatoire un enclos pour mercredi de forme différente des deux premiers, le retenir si son périmètre est égal à 4 barres longues et 4 courtes. Déterminer son aire et le retenir si elle est supérieure à celle de l’enclos du mardi.

- Chercher à réaliser un enclos délimité par 4 grandes barres et 4 petites. Procéder ensuite comme précédemment pour l’aire.

- Chercher à réaliser un enclos en tenant simultanément les deux contraintes sur le périmètre et l’aire : 4 barres longues et 4 courtes et à l’intérieur plus de 3 carrés et 4 triangles ou une surface équivalente à 5 carrés ou 10 triangles.

Quelques solutions pour le mercredi (A, B, C, D, E).

- Donner une explication montrant qu’il y a un comptage des carrés ou triangles ou nombre de points intérieurs (selon le théorème de Pick, l’aire en carrés vaut le nombre de points intérieurs + la moitié du nombre de points sur la frontière – 1. Les élèves ne peuvent pas le savoir, mais l’intuition « plus il y a d’arbres à l’intérieur, plus grande est l’aire » est à accepter comme explication).

Notions mathématiques

aire, polygone, côté, diagonale, unité, carré, quadrillage, réseau, périmètre, comparaison

Résultats

15.I.04

Points attribués sur 494 classes di 12 sections :

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète : (deux figures trouvées, en progression, respect des longueurs de perches), avec explications
• 3 points: Réponse complète avec explications peu claires ou manquantes
• 2 points: Réponse partielle avec deux des trois conditions précédentes (par exemple deux figures, en progression, mais avec 8 côtés en « diagonale »)
• 1 point: Réponse partielle avec une seule des trois conditions précédentes
• 0 point: Incompréhension du problème, non-réponse.