Il quadrato di Lea

Identificazione

Rally: 17.II.11 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambito: GP

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Sunto

Da un puzzle di 10 pezzi disposti in parallelogramma (su una cornice di cinque quadrati allineati), ricostruire un rombo, quindi un trapezio rettangolare con 8 di questi.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Comprendere quali sono le figure da ritagliare.

- Ritagliare le figure e provare ad accostarle facendo combaciare i lati congruenti.

- Rendersi conto che, con 8 figure:

• si può ottenere facilmente un rombo costruendo, ad esempio, prima un triangolo rettangolo (con un trapezio e un triangolo rettangolo non isoscele) e procedendo poi per simmetria; oppure, partendo da un esagono convesso (ottenuto con i quattro trapezi rettangoli) e aggiungendo poi, in modo opportuno, i quattro triangoli rettangoli non isosceli;

• si possono costruire due trapezi rettangoli differenti, per esempio, fissando l’attenzione sul modo di ottenere il suo lato obliquo (per allineamento dei lati obliqui di due trapezi o delle ipotenuse di due triangoli rettangoli dello stesso tipo) e completando opportunamente.

Oppure: notare che unendo correttamente, a due a due, tutte le figure date si ottengono cinque quadrati (uno formato da due triangoli rettangoli isosceli, gli altri quattro formati da un triangolo rettangolo non isoscele e da un trapezio). Con quattro di essi, si formano due tipi di puzzle quadrati di 8 pezzi, a seconda che si utilizzino o meno i due triangoli rettangoli isosceli (cfr. a e b)

Nel caso a, si può formare un rombo ridisponendo correttamente i quattro triangoli rettangoli non isosceli come in figura (il quadrilatero ottenuto è proprio un rombo poiché ha due assi di simmetria ortogonali e quattro lati della stessa lunghezza).

Nel caso b, si può formare un trapezio rettangolo ridisponendo correttamente uno dei triangoli rettangoli isosceli come in figura. (il parallelismo e gli angoli retti sono assicurati dalla configurazione dei 4 quadrati iniziali).

Oppure si può ottenere un altro trapezio rettangolo unendo due trapezi rettangoli con due triangoli rettangoli non isosceli, completati da un trapezio, dai due triangoli rettangoli isosceli formanti un quadrato e da un triangolo

- Rendersi conto che con le 10 figure si può ottenere un quadrato solo ponendo in «posizione centrale» un quadrato piccolo formato da due triangoli rettangoli isosceli, aggiungendo poi i quattro trapezi rettangoli disposti «a girandola» intorno al quadrato centrale e terminando con i quattro triangoli rettangoli restanti, come in figura

Nozioni matematiche

puzzle, triangolo, trapezio, confronto, lunghezza, angolo, rotazione, simmetria assiale

Risultati

17.II.11

su 2039 classi di 21 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta completa, con le figure ricomposte con precisione (disegno o collage) con almeno uno dei due trapezi
• 3 punti: Due figure ben ricomposte
• 2 punti: Una figura correttamente ricomposta
• 1 punto: Costruita con precisione almeno una delle figure richieste (rombo, trapezio rettangolo, quadrato), utilizzando un
numero di pezzi diverso da quello richiesto, ma comunque maggiore di 2.
• 0 punto: Incomprensione del problema.

Indicazioni didattiche

Questo problema può mettere in luce diverse concezioni erronee relative alle figure geometriche:

- confusione tra figure convesse e concave,

- confusione tra rettangolo e quadrato,

- confusione fra quadrato in posizione “non standard” (lati non paralleli ai bordi del foglio) e rombo,

- trapezio isoscele considerato come trapezio rettangolo,

- parallelogramma considerato come trapezio.

In effetti abbiamo trovato tali tipi di concezioni erronee in elaborati di diverse sezioni.