Triangles et cercles

Identification

Rallye: 21.II.20 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, FN, GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• SF - Etudier des suites de figures

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Résumé

Calculer le côté du dixième triangle d’une suite de triangles équilatéraux homothétiques en progression géométrique, inscrits dans des cercles concentriques. Les trois premières figures sont données sur un réseau triangulaire.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

• Observer comment sont formés les triangles équilatéraux et les cercles concentriques, un même cercle étant circonscrit pour un triangle et inscrit pour le suivant.
• Se rendre compte que le premier cercle est circonscrit à un triangle du réseau de côté 1, que le deuxième est circonscrit à un triangle du réseau de côté 2 (isométrique à celui que François a dessiné par une rotation de 60 ou 180 degrés autour du centre) que le troisième cercle est circonscrit à un triangle du réseau de côté 4, etc
• En déduire que d’un triangle au suivant, la longueur des côtés est doublée : ainsi le deuxième triangle a des côtés mesurant 2 cm, le troisième 2 × 2 cm,… Les côtés des triangles successifs s’expriment donc par des puissances de 2 à partir de 2⁰ cm pour le petit triangle. Les côtés du dixième triangle mesureraient donc 2⁹ cm, soit 512 cm ou 5,12 m.

Ou bien, rechercher une justification en considérant la figure suivante :

- Considérer que le point G, centre d’inertie des triangles, est placé aux 2/3 des médianes respectives. Le rayon du petit cercle R₁ est égal à A₁G = GM₂ et celui du grand cercle, R₂ est égal à GA₂ = 2GM₂ = 2R₁.

- Remarquer que l’on passe de la figure 1 (triangle et cercle) à la figure 2 par une homothétie de rapport 2. En déduire que les mesures des côtés des deux triangles sont dans le même rapport 2.

Ou, calculer la longueur c₁ des côtés du petit triangle en fonction du rayon R₁ en utilisant la propriété de la hauteur d’un triangle équilatéral ou en la déduisant du théorème de Pythagore :

• A₁M₁² = A₁C₁² – MC₁² = c₁² – (c₁/2)² = 3c₁²/4, d’où
• c₁ = 2A₁M₁/√3 = 2(R₁ + R₁/2)/√3 = √3R₁.

Ainsi si on double le rayon R₁, on double la mesure des côtés du triangle équilatéral. En doublant 9 fois la mesure des côtés du premier triangle, on obtient celle du dixième triangle, soit 2⁹ = 512 cm.

Notions mathématiques

triangle équilatéral, médiane, centre de gravité, cercle inscrit, cercle circonscrit, rapport d’agrandissement, Pythagore, progression géométrique, calcul littéral

Résultats

21.II.20

Points attribués sur 213 classes de 7 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (512 cm) avec justification du calcul et du raisonnement
• 3 points: Réponse correcte avec une justification incomplète et un calcul correct
• 2 points: Réponse correcte sans justification géométrique mais seulement la lecture du dessin pour remarquer la progression en puissances de 2
  ou seulement la longueur des côtés du quatrième et du cinquième triangle à partir d’une construction effective sur le réseau donné
• 1 point: Donnée de la longueur des côtés du troisième triangle, seulement lue sur le quadrillage
• 0 point: Incompréhension du problème

Bibliographie

Adaptation de: Carrés et disques (19.F.20)