Le rectangle-puzzle

Identification

Rallye: 15.I.19 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• CA - Comparer des aires
• CA/D - Comparer des aires par découpage
• DEC - Découper et/ou assembler des figures

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Résumé

Découper un des deux morceaux d'un rectangle 10 x 15 (cm) et reconstituer à l'aide des trois morceaux obtenus un rectangle dont un côté mesure 12 cm.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Après avoir coupé le rectangle ABCD suivant le segment [MD], faire glisser le triangle DCM le long de la coupe (MD) jusqu’à toucher la droite (AB) en H. Il ne reste plus qu’à découper la pointe du trapèze ABMC suivant [KE] et à placer en MBH le triangle DKE.

- Ces deux triangles sont égaux : on le justifie par la même translation que celle de la construction d’origine, qui amène le triangle DCM en EGH. On peut aussi le démontrer ou le justifier en montrant que DKE et MBH sont deux triangles rectangles dont les angles sont respectivement égaux (car la seconde découpe de K à E est parallèle à AB), et leurs hypoténuses sont égales (DE = MH par translation).

- Le nouveau rectangle AHGK est de même aire 15 x 10 = 150 cm2 que le rectangle ABCD. Il a une largeur de 12 cm et donc pour longueur 150/12 = 12,5 cm, et son périmètre mesure 49 cm.

Ou : après avoir trouvé que le nouveau rectangle a comme dimensions 12 cm x 12,5 cm, le dessiner et y placer le triangle MCD (obtenu par le premier coup de ciseaux) et chercher comment couper le trapèze rectangle pour recouvrir la surface avec trois pièces.

Notions mathématiques

aire, rectangle, comparaison d’aires, découpage, recomposition, égalité de triangles

Résultats

15.I.19

Points attribués sur 38 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (bonnes coupes, bon « puzzle », périmètre 49 cm, à partir des dimensions 12 x 12,5) et justification de l’égalité des deux triangles
• 3 points: Réponse correcte sans justifications
• 2 points: Idées de découpage qui pourraient aboutir en plus de deux coupes
• 1 point: Essais de découpages, qui n’aboutissent pas
• 0 point: Incompréhension du problème