La scatola

Identificazione

Rally: 11.F.09 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambito: GP
Famiglie:

• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• LA/UA - Gestire unità d’area
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri

Remarque et suggestion

Sunto

Ricercare l’area d’un rettangolo (il cui perimetro è 112 cm) formato da quattro rettangoli isometrici, tre disposti affiancati, il quarto perpendicolarmente agli altri; nel contesto di una scatola a quattro scomparti.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori del compito

Osservare che la base è formata da tre segmenti della stessa lunghezza che si ripetono per quattro volte nell’altezza.

Comprendere quindi che il semiperimetro è formato da sette segmenti congruenti ( o il perimetro da 14).

Procedere aritmeticamente: (112 : 2) : 7 = 8. La base corrisponderà perciò a 8 x 3 =24 e l’altezza a 8 x 4 = 32. L’area sarà perciò di 768 cm2.

Nozioni matematiche

rettangolo, unità di misura, area, lunghezza, perimetro, pavimentazione, proportionnalità

Risultati

11.F.09

Punteggi attribuiti su 108 classi finaliste

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta giusta (768 cm2 o 768) con spiegazioni dettagliate (la divisione 112: 14, 24 e 32 appaiono esplicitamente, o un disegno con tutte le misure indicate)
• 3 punti: Risposta giusta con spiegazioni parziali
  oppure risposta «768 cm» (errore di unità di misura) con spiegazioni dettagliate
• 2 punti: Risposta giusta senza spiegazioni
  oppure risposta sbagliata dovuta ad un errore di calcolo che appare nei dettagli
• 1 punto: La soluzione rispetta il perimetro ma non l’uguaglianza dei pezzi e l’area è calcolata in modo coerente
• 0 punto: Incomprensione del problema

La media passa da 0,7 in categoria 5, (10-11 anni) a 2,3 in categoria 7, cosa che dimostra come sia un compito molto difficile per gli alunni più giovani e più facile per i più grandi, fra i quali rimane solamente la confusione abituale di unità (cm al posto di cm2), il 14%, mentre il tasso di “incomprensione del problema" scende al 16%.

Si può, a questo proposito, segnalare l'omogeneità dei risultati ottenuti per un compito completamente comparabile Il tavolo del giardino a quattro anni di distanza. Le medie sono di 1,21 punti, contro 1,27, in categoria 6 e 2,03 punti, contro 3,0 in categoria 7, proveniente da 757 classi (non finaliste!) che hanno partecipato alla prima prova del 15 RMT.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

C’è in effetti una sola procedura che può condurre alla risposta, in quattro sequenze il cui l'ordine è imposto dalla logica interna del problema:

1. Osservare che la larghezza della scatola, alla base, è costituita di tre segmenti isometrici che si ripetono 4 volte nella lunghezza. Questa fase implica la percezione dell'equivalenza di tre " larghezze" e di una " lunghezza", conservata quando i rettangoli hanno subito una rotazione di 90 gradi. Qui si fa ricorso alla padronanza dell'isometria, alla ricerca di un'unità di lunghezza e all'espressione di un'altra dimensione con l'aiuto di questa unità.

2. Comprendere di conseguenza che il semiperimetro è costituito di 7 unità di lunghezza, o che il perimetro è costituito di 14 unità. Qui bisogna ricorrere all'addizione di misure.

3. Convertire le unità di lunghezza precedente in cm, questo fa intervenire la proporzionalità con, generalmente, il passaggio all'unità (112: 2) : 7 = 8. La larghezza corrisponderà a 8 x 3 = 24 e la lunghezza a 8 x 4 =32.

4. Calcolare l'area: 768 (24 x 32) cm2.

Non si tratta veramente " di errori" per il 74% dei gruppi del 5° anno e per il 61% di quelli del 6° anno che hanno ottenuto " 0 punti" ("incomprensione del problema"). Si tratta di ostacoli di ordine genetico che impediscono agli alunni di 10 a 12 anni " di entrare" nel problema perché non hanno ancora costruito il concetto di unità di lunghezza, o perché non sanno metterlo in opera quando i segmenti misurati non sono paralleli, o ancora, perché è prematuro per loro gestire una situazione di proporzionalità come quella delle conversioni di unità.

Indicazioni didattiche

Nelle condizioni di somministrazione di una prova del RMT, anche per i finalisti, a fine anno scolastico, la risoluzione del problema " La scatola" è fuori portata della maggioranza degli alunni dai 10 ai 12 anni. In una pratica abituale di classe, le condizioni cambiano perché l’insegnante è là; può organizzare delle “messe in comune”, delle convalide intermedie. Può arrivare anche a " far riuscire" il problema prendendo a suo carico dei momenti chiave della risoluzione; ma non si raggiungerebbe lo scopo dell'attività.

Bisogna attendere il livello del 7° anno (12-13 anni) o la fine del sesto anno per aspettarsi che gli alunni possano approfittare degli ostacoli della situazione per tentare di superarli, di aggirarli e di progredire così nei loro apprendimenti, intorno alla misura, alla conservazione di lunghezze, alle isometrie, alla proporzionalità.

Per andare più lontano

La situazione è ricca e richiederà di essere utilizzata, dopo la risoluzione, in fase di convalida delle soluzioni, poi di istituzionalizzazione. La chiave è, qui, la scoperta di un'unità comune di lunghezza (la larghezza di uno dei quattro rettangoli, che permette di esprimere la lunghezza poi il perimetro.)

Delle varianti, scelte tra gli altri problemi della sottofamiglia, potranno essere proposte in seguito per rinforzare o verificare i nuovi saperi acquisiti.

Vedere per esempio Il tavolo del giardino ed Pavimento di legno

Bibliografia

Punti di partenza: La Boîte, in Grand N No 85, 2010 pp. 7, suivi de « premières réflexions » (F. Jaquet) pp. 9-11.

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