Pavage décoratif

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Rallye: 22.I.08 ; catégories: 5, 6 ; domaine: GP
Familles:

• AL - Traiter des alignements d'objets
• AL/DEN - Dénombrer
• AL/PAV - Compléter un pavage

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Résumé

Compléter sur un quadrillage un pavage composé de croix formées dans leur version complète de cinq carreaux, les croix étant de couleur grise ou de couleur noire. Compter pour chaque couleur le total de carreaux utilisés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- Compléter le pavage en découvrant ses propriétés et régularités. Par exemple :

• chaque croix est faite de cinq carreaux de la même couleur ;

• chaque croix est entourée de quatre croix de l’autre couleur ;

• deux croix voisines de la même couleur sont en contact par le sommet d’un carreau ;

• les croix sont incomplètes en bordure du rectangle. Elles seront composées d’un, ou 3 ou 4 carreaux.

Ou, découper une croix qui sera ensuite utilisée comme gabarit pour dessiner les croix sur le quadrillage. (Cette dernière procédure diminue la difficulté de placement des carreaux en bordure du rectangle).

- Pour le dénombrement des carreaux, il y a de très nombreuses possibilités. Par exemple :

• Compter les croix entières de chaque couleur : 15 grises et 16 noires, pour un total de 75 carreaux gris et 80 noirs. Compter ensuite les carreaux qui ne composent pas une croix entière : 30 gris et 24 noirs ;
• Compter le nombre de carreaux de chaque couleur dans chaque ligne ou colonne et faire la somme pour chaque couleur, ou numéroter les carreaux d’une même couleur …

- Possibilité dans les deux cas de limiter le dénombrement à une couleur. Déterminer ensuite le nombre de carreaux dans le rectangle (19 × 11) et calculer la différence pour déterminer le nombre de carreaux de l’autre couleur ou, en complétant le motif, remarquer que les neuf premières colonnes correspondent aux neuf dernières pour limiter le dénombrement.

Notions mathématiques

géométrie, pavage, quadrillage, alignement, dénombrement

Résultats

22.I.08

Points attribués sur 1671 copies de 22 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (105 gris et 104 noirs) avec dessin et explications (par exemple, on a compté les croix entières puis les autres carreaux, on a compté ligne par ligne, on a numéroté …)
• 3 points: Dessin exact avec explications ou calculs, mais erreur de dénombrement des carreaux d’une ou des deux couleurs ;
  ou dessin exact avec explications ou calculs, mais seuls les carreaux composant des croix complètes ont été dénombrés (75 gris et 80 noirs)
• 2 points: Réponse correcte avec ou sans dessin, mais réponse sans explications ni calculs
• 1 point: Début de pavage correct (les croix complètes sont correctement dessinées)
  ou réponse par le nombre correct de croix complètes de chaque couleur (15 gris et 16 noires)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Résultats de Suisse romande sur 82 copies :

- Le dessin seul, sans comptage, représente déjà une difficulté importante, puisqu’on relève des erreurs dans un tiers des copies. (47 avec dessin exact, 22 avec erreur de dessin, 5 avec dessin incomplet, 8 sans dessin présenté)

- La seconde difficulté vient du comptage, effectué correctement dans un quart des copies seulement (22), et avec des erreurs de 1 à 3 unités dans un autre quart (20)

- quelques tentatives de calculs indépendants du comptage sur le dessin à partir de 11 x 19 = 209, dont la réponse 104,5 et 104,5. 6 erreurs dues à des photocopies de mauvaise qualité

Quelques comptage des carreaux manquants 81 gris et 74 noirs.